DEUXIÈME HYPOTHESE
La Terre étant an ellipsoïde de révolution.
229. On pourrait craindre que les conséquences déduites de la théorie précédente j dans laquelle nous avons fait abstraction de la figure ellipsoïdale de la Terre j ne fussent pas assez exactes dans ]a pratique. Pour dissiper tous les doutes à cet égard, nous allons envisager la question sous son véritable point de vue.
En considérant la Terre comme un ellipsoïde de révolution , la différence de niveau de deux points, Tun étant sur sa surface , est mesurée par la longueur de la perpendiculaire abaissée de l'autre point sur cette surface. Parles opérations géodésîques, on obtient leur plus courte distance au niveau des mers , ainsi que leurs positions géographiques : alors la corde de cette plus courte distance et la hauteur cherchée sont les deux côtés d'un triangle rectiligne donné de position , et dans lequel on peut connaître en outre , par l'observation , l'angle que le troisième côté fait avec la hauteur ou la verticale dont il s'agit. Relativement à la sphère , ce triangle serait invariable , toutes choses égales d'ailleurs, quelque part qu'il fut situé et quelque direction qu'il eut ; mais il n'en est pas de même à l'égard du sphéroïde.
230. Il résulte de la théorie exposée k Fart. 167, que si M et M' {fis* 4o) sont les extrémités d'une ligne géodésique K ayant pour latitudes H, H% et que pj p' soient les longueurs des normales MN, M'N' comprises entre ces points et ceux où elles rencontrent l'axe de rotation, l'on 'a
(i — <?*sin»H)» (i— «»sin*H)*
Nous avons vu en outre à l'art. 189 , que la différence de ces deu% normales est du second ordre. Cherchons , par un procédé analogue , la différence de la normale p du point M à l'oblique M'N = p^ du point M', parce qu'elle nous sera utile.
D'abord 9 en vertu du triangle NM'N', et de ce que l'angle
NM'N' = (j», ona
p'cosH' p'
f^* cos(H' + ^) cos^(i — tangT|«taDgH')
= p'séctjip (i -4- tangtj» fangH' -j- . , .)j
ou , à cause de la petitesse de (f ,
pt =f»'(ï -h tang «j; tang H')
= a [(H- ie» sin« H'-H |e* sio* H'. . .)](»+ tang«l» tangH'),
ou encore
il H-|e>sin*H' + |e*8in'H' + tangftangH') P« — *» I -HAe«sin»H'tang<{.tangH'
D'un autre côté , le théorème de Maclaurin donne ,
et puisque
p =fl[n-|e*8in*H+|6*sin*HH- ...], on a
(^) = a[e*sinH'cosH' + fe*8in»H'cosH'],
par suite,
p =a[i+i6*sin»H' + |ô*sin*H'...] + ae^sinH'cosH'.AH+a-cos»H'.AH*
+ |éïc*sin»H'cosH'.AH-aî^sin*H\AH*f et par conséquent
c*8inH'cosH'.AH4--cos»H'.AH*
p-p,=:a < -^sin»H'.AH«-tangtj;tangH' ^;
+ |6*sin»H'cosH'.AH — |e* sin> H' tang^^tangH'
d'ailleurs, par l'art. 195 , et à cause de tang tj» = ; , du moins
à très-peu près, on a en fonction de H',
tangt|; tangH' = e» sinH'cosH'.AH — ie»sin*H'.AH*
+ e*sin»H'cosH'.AH; ainsi, définitivement,
i te'cos»H'.AH» + f e'sin'H'CosH'.AH i
(>-P» — ^[ e*sin»H'cosH'.AH-|e*sin»H'cosH'.AH \ = |a6»cos»H',AH*=fi;
expression exacte aux quantités près du quatrième ordre , et qui , en mettant pour AH=:H — H' sa valeur approchée (art. 192), devient
p^p^z=:f^=\ae^^ cos» H'.cos* Z = \e* — cos» H' cos» Z.
Si Ton avait K= 6oook)"*, il s'ensuivrait que ft = o"',3cos^ H' cos^ Z; il est donc tout-à»fait inutile de tenir compte des termes négligés.
231. Problème i. Déterminer la réfraction terrestre par deux distances zénithales réciproques.
Au point M [Jig. 49)9 on a pris la distafnce zénithale ù du point M % et à celui-ci on a observé au même moment la distance zénithale ù' du point M; où demande le coefficient de la réfraction.
Nous supposerons toujours que la trajectoire MM% décrite par un rayon lumineux j a très-peu d'étendue , et qu'elle se confond sensiblement avec son cercle osculateur ; ainsi , les réfractions aux points M, M' sont ^ales (art. 214). ai donc un de ces angles est désigné par Q , les distances zénithales vraies seront d^-H- ô^ ^' -f- ô. Ces deux distances zénithales n'étant pas en général situées dans un même plaù 9 rien ne les lie entre elles ; mais soit d'i -4- Ô l'angle MM'V< formé par ]a corde MM' et l'oblique NM' V| ; alors dans le triangle rectiligne NM'M on aura évidemment,. en faisant MNM' = C,
(> + Ô + (J^^ 4- Ô r= aoo^ -(- C,
d'où
ô=ioo«+?«(i±ii); delà ^+e = ioo+l + (i=^\
Reste à trouver la relation qui existe entre â^ + O et&' + Q; car c^^ n'ayant pu être observé, il faut éliminer cette distance zénithale auxiliaire de la valeur précédente de 9.
Pour cet e£fety on remarquera que dans le triangle sphérique miiii' (^. 5o), on a {z' étant l'azimut de M sur l'horizon de M% compté du nord vers Test) ,
cos (c^i +0) = cos ^ cos {â' + ô )-l-sin t^ sin (^'H- 9) cosjs',
ou j en supposant cos vp = i ,
cos ((?! + 9 ) — cos {&'+ 9) = sin iji sin {&' + 9) cos z'
= ^ sm (^— j— + 9 j sm [—;—) ;
or, J^i et â' devant différer très -peu l'une de l'autre, on a, par une première approximation ,
sinij/sin(c3^'4-9)cosz'=sin(d"-h9)sin(c>'-.(>i),
et même
c^' — ^, = i|; cosz', ou ^1 = ^' — ij/ cosz'.
Substituant cette valeur dans l'avant -dernière -équation ci-dessus, on aura plus exactement
sinij;sin(c3''4-9)cosz' = !tsin f^'-+-9 — - cos z'j sin r "^- '),
et par suite
^^^^ ^cosz'ûnji' ^9)
in (^' -+- 0) fi — ^ cos «' cot (^' -f- 0)1
= ^cosz' ri-+-|cosz'cot((>'-t-9)l = ^cosz' + \ (j^* cos* z' cot((^'-h9);
mais comme nous sommes convenus de négliger les quantités du quatrième ordre y nous aurons seulement
partant ,
d'ailleurs on a , par la théorie développée à l'art. 192 ,
a' = Z — usinZtangH; de là
oosa' = cosZ + Msin'ZtangH, et ? = (|'00sz' = e»cos»H'cos*Z,— ^^
p SID l"
+ e' ces* H' cosZ sin'ZtansH. ^'
^ f>»sini" =^ e» cos» H' cos» Z.^^
P sut l"
+ -r sin aH' sin aZ siriZ. ^' •
4 p»smi"'
le second terme, qui est dii troisième ordre, est tout-à-fait insensible. Quelle que soit la nature de la trajectoire MM', cette courbe peut toujours, dans la pratique de la Géodésie, être, comme nous l'avons déjà dit, remplacée par son cercle osculateur; et alors il est évident que, dans les mêmes circonstances météorologiques , la réfraction terrestre est proportionnelle à l'angle C: on a donc, comme à l'art. 214
(7') ^ = nC.
Tenir compte du terme ip dans la formule précédente , c'est supposer que le» observations de distances zénithales sont très-exactes , que la réfraction n'a pas varié pendant ces observations , et que la Terre est effectivement un ellipsoïde de révolution } mais rien de tout cela n'est parfaitement prouvé.
L'angle C est nécessairement déterminé , si l'on connaît sur le globe
la position des deux stations M , lA' {Jig. 49). Or, par la résolution des triangles d'un réseau , l'on obtient l'arc de distance bm''j ou la corde bm" = R du sphéroïde , comprise entre les verticales VN , V N' ; et il est évident que cette corde di£fère , dans tous les cas, extrêmement peu de la droite bm' correspondante, puisque dans le triangle rectiligne bwlw!'^ le côté wlni' opposé à l'angle ^ de ^" sexagésimales au plus, est extrêmement petit , et même absolument insensible , à cause du peu d'élévation du point M' au-dessus de ni' ou du niveau des mers. En effet, en supposant ni'W de aooo™, m' m'' ne vaudrait que o™,o48; ainsi nous considérerons à l'avenir bm'' comme égal à bm\
On a remarqué d'ailleurs que p — p^ = /x est une quantité du troisième ordre; d'où l'on peut inférer que si /n*' N = mN (^. 5i), on a aussi à très-peu près nmf ou K, = K : c'est au surplus ce que prouve le calcul suivant.
On a d'une part
K; = ap — ap* cos C = 4p* sin*-|C; d'où K< = 2/3 sinl^C;
d'autre part
K» = p* -H (j3 — |x)' — a/}(p — II) cosC = jUL» + 4p' sin*|C — 4pfx sin'^C
et de là
K = 2p siniC + j^£^ - fx siniC.
Cette dernière expression de K, dans laquelle sin |G est une quantité du premier ordre , peut se réduire à son premier terme , c'est-à-dire à
K = ap sin -^ C, puisque la fraction . \ ^ , qui renferme la normale p
au dénominateur, est de beaucoup inférieure au terme du quatrième ordre fx sin |C. L'angle Csera donc assez exactement connu par l'équa-
tion sin -g- C = — , ou sin l" C = —7, puisque p et p' ne diffèrent que
d'une quantité du second ordre.
232. Problème ii. Déterminer la différence de niveau de deux points^ par le moyen de deux distances zénithales réciproques.
Admettons la même notation cjue précédemment; supposons de plus y que bm' {fig, 49) soit la corde du sphéroïde qui mesure la distance rectiligne des deux stations M, M'; menons mm' parallèle à MM% et désignons par £^£ la différence de niveau bm des deux points m, m! . Cela posé y on tirera du triangle niHm! la proportion suivante :
sm((?H-Ô):p< :; sin(<?| + Ô) :|0 + ^E,
d'où rfE = p'"°^^-tVrT^^"^'^ î
mais p = p<H-|EjL,et<î^+5= ioo« H 1 ^ ; par conséquent
«in(^-f-ô) ^
Déplus, à cause de ^, -l-0-+-<?+ô = aoo» + C, on a
i^ +9= 1008+ ^j par suite ,
2f>i8infGsm( j
co» (-^j «»- ['-«""«TCtaiigl-^jJ
= K séc i C tang (i:^) ^ KsécACtangiCtang^ (l=ii) - /*; d'ailleurs
par conséquent
dE = Kséc\C tang (^-—^ + ^ cos A ■+■
4- K sécA G tangl G tang* (^^ + J co» «') — ."• ( ■ ) + 1 tang >|i cos»' — 7taog>|«cosc'Ungl j
K séc I G tang { G tang» (^-^) —(i
= K séc ^ G tang ( J ■+■ ^ tang <^ cos z' séc* ( 1 j + etc.
= Kséc:^c tang (i^W Kséc^Gtang|Gtang« f^^)
H — tang ^ cos zf -— fi;
car séc^ ("~~) ^'^ séc ^ C difSèrent Tune et l'autre très-peu de l'unité.
Cette valeur de ^N, dans laquelle e^ est supposée plus grande que<^', doit être prise positivement , lorsqu'on nivelle de M' en M , et négativement lorsqu'on nivelle de M en M', c'est-à-dire quand on va du nord vers le sud; dans ce second cas,
^E=KséciCtang(^^^=^ - K séc ^ C tang ^ C tang» (^^)
tang ^ cos z' H- |ui .
Les deux derniers termes de cette valeur de dE se détruisent mutuellement; en effet 9 à cause de
tang cj; = e» cos» H^ AH = e* cos» H'. - cos Z ,
on a
- tang t]f cos z' = ^ 6» cos» H'. — cos» Z ;
d'ailleurs
(8) jx = I ae^ ^ cos* H' cos* Z = | e' cos^ H'. — cos^ Z; ainsi l'on a seulement
(9) ^E = RséciCtang(^^^ -KséciCtangiCtang^r^^V
Dans la pratique, on aura égard au signe delà tangente, ce qui rendra les deux termes négatif si d^ > &'.
Il Suit de là que la différence de niveau sur le sphéroïde, déterminée à l'aide de deux distances zénithales réciproques, s'obtient comme sur une sphère dont le rayon serait égal à la normale p. Cependant la vraie différence de niveau cherchée est BMau lieu de (m; mais il n'est pas difficile de voir que puisque ces deux hauteurs sont proportionnelles aux lignes NB, Né, la différence BM — bm est très-souvent insensible dans la pratique et bien au-dessous des erreurs qui affectent les observations.
Il est à remarquer que la valeur ci-dessus de dE ne doit être en erreur que de celle résultant de la moitié de la différence qui pourrait exister entre les réfractions aux points M et M' (art. 224).
255. Problème m. Calculer la différence de nii^eau de deux points^ à l'aide dune seule distance zénithale.
Supposons d'abord que le lieu M {Jig. 49) le plus boréal soit celui d'où l'on a observé la distance zénithale c^ du point M' ; on demande la différence de niveau BM ou bm , toutes choses d'ailleurs étant comme dans le problème précédent.
Le triangle mNm' donne
,p. p,siD(J-he— c)— psin(^-he).
ou bien, à cause de p = p, +fj.,
. p.[ria(J + 9-C)-»in(^-H9)]
— ap,co8(*+9 I sm-
— BLcotU-f-0 y
cos^C 1 1-4- tangiCcot f *-4-0— - j
= -KséciCcot((^+e-^)
+ Kséc^Ctang|Ccot*((?+e- ^\ - fx;
ou y changeant le signe cette valeur, puisqu'on nivelle du nord vers le sud j et que & est obtus dans la figure ^
— Kséc{Ctang|Ccot*(d'+e— ij + i^-
On aura , dans Tun comme dans l'autre cas , égard au signe de la cotangente.
Le terme fi n'est pas détruit comme dans la question précédente ; mais il n'y aurait aucun inconvénient à le négliger, car il est du troisième ordre , et le plus souvent en deçà des limites des erreurs d'observation : d'ailleurs l'erreur de l'hypothèse à fsiire dans ce cas sur le coefficient de la réfraction, faute de mesures météorologiques, l'emportera souvent sur la valeur de ce terme.
On déduit, comme conséquence de cette formule, celle (9) dépendante de deux distances zénithales, et cela en remarquant que
\K tangt]; cos z' — jx = o.
Supposons, en second lieu, que Ton connaisse seulement la distance zénithale &' observée du point M'; il est aisé de voir que Ton aura, en nivelant du nord au sud ,
idE = — KséciC cot U' + 6- -) / cV
- Rséc|C tangue cotM<J'-he -^j -|ui.
Concluons de là, que la formule pour déterminer, sur le sphéroïde, la différence de niveau de deux points par une seule distance zénithale, est dépendante de l'aplatissement, soit qu'on nivelle du nord vers le sud , soit qu'on nivelle en sens opposé. Delambre a déduit de ses calculs une conséquence toute contraire et évidemment paradoxale, pag. 746 et 749 du tome II de la Base du Système métrique décimal; mais il est aisé de voir que c'est par une légère inadvertance. On remarquera en outre que le signe du terme jul qui contient l'aplatissement, dépend de l'espèce de l'angle observé. A cet égard , on peut établir pour règle générale, i^ que si la distance zénithale observée est > 1 00^, le terme |x est de signe contraire à celui du premier terme de la valeur de dE ; o? que si cette distance zénithale est < 1 00^, ces deux termes ont le même signe.
Des deux formules (10) et (i i) , dans lesquelles on négligerait la réfraction d, la première relative à ^ > 100^ donnerait évidemment une hauteur dE trop faible de toute la quantité due à cette réfraction , dans l'hypothèse que la densité de l'air décroît à mesure qu'on s'élève ; et la deuxième, relative à d' < ioo«, donnerait une hauteur rfE' trop grande de la même quantité; ainsi la demi-différence de ces deux valeurs est précisément la correction à faire à l'une des hauteurs calculées. Or, soit AA = ^ {dE' -+" dE) cette correction; comme elle sera donnée en mètres , on l'obtiendra en secondes par la formule suivante
Kaini"'
K étant la distance des deux points M, M'. C'est là une des méthodes que Méchain employait pour déterminer la réfraction terrestre.
234. Problème iv. Déterminer la hauteur dun lieu doii Ion voit rhorizon de la mer.
Examinons, comme dans le problème précédent, les deux cas qui peuvent se présenter. Pour cela , supposons que la station M soit boréale par rapport au point de l'horizon observé M' (Jig. 5a), point dont la distance zénithale apparente est cf ; alors la hauteur cherchée E sera représentée par AM, et le triangle rectiligne MNM' donnera, à cause que Tangle MM' V^ = 100* — 1|; cosz' = ioo« — ç,
£ , p,[cosy — cos(y-hC)]
cos(G-4-C) ^
p, [cos<p(i — cosG) + 8iii^sinC]
cos7CosC[i — UDgftaDgC] ^
^ P* ['œ^^^' "^ ^^"S'^ tangC) + tang(p tangc] - yu, ou simplement, à cause de la petitesse des angles C et 9,
r îsinHC ^ . ^ ni
= I/o, tâng* C + pt tangç tangC — jut; mais dans le triangle dont il s'agit ,& + $ = i oo' + 9 + C , ou
<?-hnC=iooe-t-9-|-C, d'où C = *"'*'*' ~^
ainsi
E = iPi tang^ (^ /^""^ ^) + p. tang 9 tang (^^) - ^
= i p. tang^ iTr^j - P^ *^°g ? ^"g TTT^ïyr
/^î— ioo\
+ Pi tang 9 tang (^-^jurj ~ f^-
La valeur moyenne du coefficient n de la réfraction étant seulement de 0,08 environ, il s'ensuit que le deuxième et le troisième terme de cette valeur se détruisent sensiblement ; ainsi l'on a seulement
(.3) E = ip,tang»(^)-f.;
et si Ton mettait p au lieu de p^y l'on ne négligerait encore que des quantités absolument insensibles dans la pratique.
Le cas où le lieu de l'observation est au sud, c'est-à-dire en M' (^. 53), se traite de la même manière. Soit alors &' la distance zénithale observée ; l'angle auxiliaire MM'Vi sera &^ + ô, et la hauteur cherchée N sera A' M' ou A" M'. De plus le triangle MM'N donnera
p — piCosG p(i — cosC) .
1*. SSZ —————— -TT ■ ■ —4— fX
cosC cosC ^
— — rrTTT 1 — rrTT 4- u = ap tane' t^ •+-' i^
= ^tang«C + ^;
et comme c?^ -t- & = 100* -4- C, ou «?< -4- nC = 100 -t- C, d'où
il s'ensuit que ^
tang(^'— 100)
-ptangy y^^^, ^ + fi,ou seulement
Mais la petitesse de l'angle C permet de faire
p tangf tang(<^' — 100) = p tang^ tang C = ap sin|C tang 9
:=:Ktang(|; cosz^ = ayu;
48o TRAITÉ DE GÉODÉSIE,
ainsi définitivement
/ OA ,7 ^tang*(J'— ioo«)
formule qui est la même que la précédente , parce que la différence de p k p^ peut, comme nous l'avons déjà dit , être considérée comme nulle.
 la rigueur, les distances zénithales apparentes &j â'j prises au même moment au point M, Tune vers le sud , l'autre vers le nord, ne doivent pas, en général , être les mêmes sur le sphéroïde ; mais leur différence est si petite qu'elle échappe nécessairement aux observations: ainsi les termes du quatrième ordre, rejetés des formules ( î 3) et ( 1 3'), et de toutes celles qui précèdent, sont très-inutiles.
23.^. Il résulte de cette analyse, i® que les formules pour calculer les différences de niveau sur le sphéroïde de révolution, sont les mêmes dans tous les sens du nivellement ; ti^ que ces formules ne renferment plus les termes dépendants de l'aplatissement de la Terre, si l'on y introduit deux distances zénithales réciproques ; ou bien si , en ne faisant usage que d'une seule distance , on opère dans le sens des parallèles; 3^ enfin, que la correction d'aplatissement, lorsqu'elle parait nécessaire , étant presque toujours au-dessous des erreur^ des observations, le nivellement trigonométrique peut, dans tous les cas, être considéré comme ayant lieu sur une sphère idont le rayon est ^al à la normale comprise entre le point d'où l'on observe et l'axe de rotation de la Terre.
Il paraîtrait cependant convenable d'introduire dans les formules précédentes , au lieu de la normale dont il s'agit , le rayon de courbure de la ligne géodésique K obtenu à l'art. 187. Si l'on prenait ce parti , on aurait
' app 2p app' '
p, p' et Z ayant ici les mêmes significations qu'aux art. 187 et 192 : mais, après tout, ce serait compliquer le calcul sans avoir l'espérance de parvenir à de meilleurs résultats ; puisqu'il existera toujours , quoi
qu'on fasse, une petite incertitude sur les distances zénithales employées comme éléments des différences de niveau.
Explication de nous>elles Tables servant à abréger le calcul des
différences de niveau.
236. Parmi les nivellements trigonométriques de premier ordre , dont on est redevable à Tex-corps des Ingénieurs-Géographes français , il en est un (art. 228) qui a eu spécialement pour objet de faire con* naître si les eaux de TOcéan et celles de la Méditerranée , considérées dans un état de repos absolu, forment une seule surface de niveau, ainsi qu'on était déjà porté à le croire d'après des calculs provisoires de Delambre. Un réseau de triangles très-bien conditionnés lie ces deux mers l'une à l'autre, et fait partie des chaînes primordiales du canevas de la nouvelle carte de France. De nombreuses observations de distances zénithales, prises la plupart sur de hautes sommités des Pyrénées, et dans des circonstances atmosphériques qui ne nuisent pas sensiblement à leur accord, ont permis de regarder celles qui sont relatives à deux stations voisines comme étant susceptibles de procurer de trèsbonnes différences de niveau, malgré leur défaut de simultanéité.
Pour envisager cette question sous le point de vue le plus général et le plus /conforme à l'état des choses, il convient de considérer la Terre comme un ellipsoïde de révolution, et d'avoir égard surtout, dans le calcul des différences de niveau , aux hauteurs des stations au-dessus de la surface à laquelle se rapportent toutes les distances géodésiques j puisque , relativement aux Pyrénées, ces hauteurs surpassent souvent 2800 mètres. Mais nous avons démontré précédemment que les différences de niveau peuvenjt, en pareil cas, être calculées comme sur une sphère dont le rayon serait égal à la normale comprise entre l'une des stations et la ligne des pôles.
Les formules pour le calcul desquelles nous avons formé des tables sont les trois suivantes, démontrées aux articles 218, 220 et 222.
i^. Lorsque &etâ' sont les distances zénithales réciproques observées aux extrémités d'une base R dont l'amplitude estC, la différence de I. 61
niveau de ces deux extrémités est
(a) dÉ = K séc^C tang (^^) + Rséc^C tang» (tT^)" ' '
série indépendante de la réfraction et dans laquelle les deux premiers termes doivent toujours être de même signe , quand an prend pour R la base du triangle hypsométrique dont une des extrémités est la station la moins élevée au-dessus du niveau de la mer. Ainsi ces deux termes sont positifs ou négatifs, selon que la distance zénithale ^' est plus grande ou plus petite que &.
a^. Lorsqu'une seule distance zénithale est connue, &' par exemple , et que n désigne le coefficient de la réfraction , la différence de niveau
est
[b) dE = Kséc|Ccot U'^^^c\ + Rséc|C cot^ (rf'+ ^^cV..
Notez bien qu'il faut avoir égard au signe de la cotangente , et que les deux termes du second membre sont, comme précédemment, de même signe toutes les fois que R répond à la station la plus basse des deux que l'on compare.
Si les observations ne font pas connaîti^e le coefficient n de la réfraction pour lé moment où elles ont été faites, on suppose n = 0,08 , et
alors — ^^^ == — 0,42.
y. Enfin la hauteur absolue d'un lieu élevé d'où l'on voit l'horizon de la mer, se détermine par cette formule
(c) E = iR(i + n)«tang»((?- i<i),
démontrée à l'art. 222 et dans laquelle (^ — i^ est l'angle de dépression apparente de ce même horizon , et R le rayon terrestre , ou encore mieux la normale N au lieu de la station. Il serait cependant plus exact
de remplacer, dans cette formule, le facteur (n-w)*par __ ^ ,
{vojez art. 222).
Nous avons déjà dit que les triangles géodésiques sont tous projetés sur une même surface de niveau regardée comme le prolongement de celle de la mer, et que leurs côtés sont des arcs de plus courte distance sur cette même surface. Dans la recherche des hauteprs relatives des
stations par les distances zénithales, on prend communément pour base du triangle hypsométrique l'arc terrestre au niveau de la mer, compris entre les verticales des deux stations mises en comparaison , au lieu de la corde de l'arc semblable à la station la plus basse ; et en effet , il est très^rarement nécessaire que la ligne géodésique, donnée par la résolution des triangles très-peu courbes , soit augmentée d'une quantité dépendante de la hauteur absolue de cette dernière station , et diminuée de son excès sur la corde correspondante ; mais pour le cas dont il s'agit dans cet article, la première correction est indispensable.
Cela posé , si k désigne au niveau de la mer la plus courte distance curviligne des deux stations dont on cherche la différence -de niveau , et que h soit la plus petite hauteur absolue , connue à peu près par un calcul provisoire , le log. de la base K du triangle hypsométrique, qui fera connaître cette différence de niveau par l'une des deux premières formules précédentes, sera
logK = log*+!^-^,
fx = 0,434^9 étant le module des tables, et N la normale prise pour rayon moyen de la Terre. Dans cette expression, log -7^ = 4*6498;
si doncou avait logA =4.5563, on trouveraitque — ^=7= — o.oooooo58;
quantité qu'on pourrait négliger sans inconvénient.
D'un autre côté, si A = 1000 mètres, on aurait , à cause de...
log^ = a. 83390, à la latitude de5o^, ^ = o.ooo68a, quantité utile
à conserver; c'est cette quantité qui est désignée par log A (tab. VI).
Quant à la table VII , elle donne log B = log. séc | w —^ ; ainsi l'on
a tout ce qu'il faut pour évaluer R = Âr.A.B. Enfin la table VIII fait connaître le second terme T=çK* de la formule (8'), art. 221 , soit que n = 0,08 , ou que ce coefficient ait une autre valeur.
