irr

* mr .^ 9 • • •

et de là

La chaîne de triangles procurera nécessairement deux équations de cette forme ; et si elles ne sont pas identiques ^ elles serviront à faire connaître X et 7 : autrement on attribuera à ces inconnues la même influence sur Terreur totale e, ou Ton fera

De l'une ou l'autre manière, les corrections partielles X, y, X', y',..., et par suite ^E , ^£% ... 9 seront déterminées.

Tel est le procédé élémentaire qui me paraît le plus naturel et le plus commode pour répartir avantageusement Terreur connue d'un nivellement trigonométrique , laquelle est presque toujours fort petite quand ce nivellement est effectué avec tous les soins convenables. Faute d'un moyen direct de vérification pareil à celui dont il vient d'être question , ce n'est que par la savante méthode que Laplace a exposée dans le troisième Supplément à sa Théorie analytique des Probabilités^ qu'il sera possible de déterminer les limites de Terreur dont il s'agit, et d'obtenir les corrections les plus avantageuses. Faisons donc encore ici une application des formules qui s'en déduisent.

Recherche de Verreur moyenne probable d'un nis^ellement.

D'abord, partons de ce principe fondamental et connu, savoir : Si x est le résultat moyen d'un grand nombre de valeurs particulières provenant de la mesure réitérée d'une mém,e quantité, et que ot', a%..., a^"^ soient les écarts de ces tù valeurs de part et d'autre de la moyenne x. Terreur dx de ce résultat, dont la probabilité est \^ aura pour expression

c'est ce qu'on nomme Verreur moyenne. En donnant à cette expression

la forme

^x =^ ±. 0,47708g, ou simplement âx = ±: |g,

le facteurs' = 7^ Va (a'* + a"*+ .... + a ^'*^^) sera la mesure ou le

module d'un grand nombre d'observations.

En second lieu , représentons par X la différence de niveau de deux points tellement éloignés l'un de l'autre que l'on a , par une suite de nivellements partiels ,

-A. ^^ uC "X^ ^^ "i* • • • • ^^" ^t 7

et appelons (?a*', ùx"j...yùx leserreurs moyennes de .x', jc",..., a: , lesquelles sont indépendantes entre elles; celle deX sera, conformément à un autre principe de la Théorie des Probabilités ,

(i) (?x = ± \l{ùx'y+{ùx"y + ...+[ùx^'''y.

Pour appliquer cette dernière formule à la pratique , on remarquera que dans l'expression de X on a généralement

(A) .T = ^^tangi(z-zO^

z et Z| étant les distances zénithales moyennes apparentes observées réciproquement aux extrémités de la base K, C désignant l'angle formé par les verticales des deux stations, et x étant leur différence de niveau. D'un autre côté l'on sait que les distances zénithales, qui sont données par plusieurs séries prises avec le cercle répétiteur, et qui diffèrent peu de l'angle droit, sont en général affectées d'erreurs fortuites provenant des défauts de l'instrument, des erreurs du pointé ou d'autres causes accidentelles; nous désignerons donc ces erreurs respectivement par dz et dz\ Enfin il est évident que si les observations n'ont pas été faites simultanément aux extrémités de la base, ou si elles ont eu une assez longue durée , la réfraction , supposée la même dans la formule ( A ) , aura pu être différente aux deux stations ; ainsi nous aurons égard à cette circonstance en appelant B el 0' les réfractions relatives à z et z\

Ces préliminaires posés , on aura , en désignant par Z et Z' les distances zénithales moyennes rigoureuses ,

Z'= z'4- rfz'4- 9'= z'4- rfz'4-

n et n' étant ici les coefficients variables de la réfraction , et R représentant le rayon de la Terre.

Delà

et pour véritable différence de niveau partielle ,

x+dbc: = ^^tangi(z'--z) + |(rfz'— rfz) + ^(/i'--/i);

dans la supposition toutefois que la base K est exactement connue. Si au contraire elle est entachée d'une erreur dk , on aura , en faisant JL(zf — z) =(;, et n'—n = dnj pour abréger, et prenant pour K sa longueur k au niveau de la mer,

dx = i^dk + kdif H- — dn.

Chaque nivellement partiel donnera évidemment une équation semblable; ainsi, en- supposant cos-^ C = i, on aura

X = A:|tangt^i-hA:2tangï'2-hÀ-3tangi^3 + . . .-t-A/tangp,,

7 étant le nombre de ces nivellements partiels ; et sa différentielle ^X aura généralement pour expression, à cause de la petitesse de (^,

dX = l{vdk) + l{kdv) + l(-^dnj,

1 désignant, comme à l'ordinaire, la somme de tous les termes pareils à celui que cette caractéristique précède. Il résulte de là que Terreur

moyenne dont la différence de niveau X pourra être affectée , sera représentée par

quant à ses limites, elles seront dz 6(^X; on aura donc de la sorte la mesure de la précision du nivellement trigonométrique.

Dans cette formule, les erreurs moyennes âv^ an dont la probabilité est|, s'obtiendront par le premier principe qui sert de base au

calcul actuel; et l'on pourra faire d'ailleurs âk = 5 ,^ d'après ce

qui a été dit sur la discordance des valeurs d'un même côté, déduites de différentes chaînes. Enfin l'on aura soin de satisfaire au principe de l'homogénéité, en réduisant en parties du rayon les quantités angulaires i» et âi^, c'est-à-dire en écrivant i^ sin i"etc?(» sin i", si ces quantités sont exprimées en secondes : alors la valeur de âX sera donnée en mêmes unités que les bases du nivellement.

Deux cas se présentent dans la pratique : le premier est celui de la simultanéité des distances zénithales réciproques, et alors l'erreur

moyenne ^v est celle correspondante aux différences , qu'on

obtient en combinant les séries contemporaines dans chaque nivellement partiel. De même l'erreur moyenne ân^ pour chacun de ces nivellements, est celle relative aux différences n'-^ n que procurent ces séries prises deux à deux. Le second cas, qui est le plus fréquent , est celui de la non-simultanéité des distancés zénithales réciproques ; il exige que l'on opère sur l'ensemble des séries prises à chaque station , parce qu'elles ne donnent qu'une valeur de n relative à l'état actuel de l'atmosphère pour chaque nivellement partiel; la variation un déduite de toutes les valeurs particulières n', n'\. . ., w^'^, est donc celle qu'il convient d'adopter pour (?w', èn''^ . . . , ùn^'^.

Dans ce dernier cas, si c', c", c"', . . . représentent respectivement le nombre des observations qui ont produit /î', «", n'% . . ., et qu'on fasse (7 = (7'+ <7"4- a", . . . , on aura

1°. Pour la valeur moyenne des /*', n", n'\ . . .

1^. Pour la valeur moyenne des carrés de ces mêmes quantités,

^^n'^^fj"n"^-^fj'"n"'^^ ..

Prenant ensuite

le nombre g" sera , comme on l'a déjà dit, la mesure de la précision du coefficient moyen n de la réfraction , et ^g = (?n exprimera l'erreur moyenne en de ce même coefficient.

De plus , il est indispensable de remplacer dans la formule (2) la

somme 2 {kèvy par celle-ci : 2 (^ èz'^-'^ 1 (^ &z\^j c'est-à-dire de

chercher séparément les erreurs moyennes c?z, âz' qui se rapportent aux distances zénithales à chacune des stations comparées; ainsi l'on a , dans cette circonstance ,

(3) (?X=y^2(pc?A)^+2(^(?z'y4-2(^c?2y+2(^(?/2y.

Ce serait nous engager ici dans de trop longs calculs , que de faire une application numérique de ces deux dernières formules , dont l'importance ne se fait d'ailleurs sentir que dans les opérations très-délicates de la Géodésie; mais le lecteur pourra consulter, à cet égard, le i®*" volume de la Nouvelle Description géométrique de la France^ dans lequel nous avons apprécié le degré de précision de deux des nivellements les plus étendus et les plus exacts qui aient été exécutés de nos jours. Nous nous bornerons donc à faire les remarques suivantes :

D'abord, en faisant abstraction des termes en ùk et ene^^v», la formule (2) se réduit à

et lorsque les erreurs individuelles èn\ ân'\ sont nombreuses, on

peut remplacer les carrés de chacune d'elles par la somme q de leurs carrés y divisée par leur nombre 2; ainsi l'on a

«=-\/fK0-

LIVBE TROISIÈME. ^qS

En supposant de plus égales toutes les bases partielles k^y k^^... ^ k^ ^ ((7 étant leur nombre), et appelant A la longueur entière de la ligne trigonométrique , on a enfin

d'où Ton voit que , toutes choses étant égales d'ailleurs , plus c augmentera plus Terreur moyenne c?X sera petite. En général , il est nécessaire que k ne dépasse pas 12000 mètres , afin que le pointé soit plus certain et que la variabilité de la réfraction ait moins d'influence sur les différences de niveau.

Les conséquences déduites du calcul 'des probabilités n'étant relatives qu'aux erreurs fortuites des mesures, il est- essentiel d'employer les meilleurs instruments , de multiplier le nombre des observations et d'en varier les circonstances , afin d'atténuer l'effet des erreurs accidentelles, d'éviter les causes constantes d'erreurs, et d'obtenir des résultats précis. On remarquera cependant que si les distances zénithales ont été observées avec le même cercle répétiteur, l'erreur constante dont cet instrument peut être affecté (art. 120), n'a aucune influence sur les différences de niveau déduites de la formule (A); mais dans les observations correspondantes et simultanées , comme on fait nécessairement usage de deux cercles, l'effet de leurs erreurs constantes, supposées inégales et inconnues, ne peut être détruit que par le moyen indiqué à l'art. 214, ou en répétant le nivellement en sens inverse, c'est-à-dire de manière que les stations du premier observateur soient faites par le second observateur, et réciproquement, et en prenant la demi-somme des deux résultats. Il est donc évident que sans cette précaution , il resterait toujours de l'incertitude sur la différence de niveau des termes extrêmes , et même des points intermédiaires d'un grand nivellement trigonométrique , quelles que fussent d'ailleurs la multiplicité et la précision des observations.