LIVRE DEUXIÈME

à cause de a? := 6 cos A. Il résulte de là que le carré d'un des côtes d'un triangfe rectitigne (quelconque est égal à la somme des carrés des deux autres côtés , diminuée du double produit de ces mêmes côtés multiplié par le cosinus de Vangle qu'ils Jbrment entre euœ, en supposant toutefois le rayon des tables égal à l'unité et l'angle A aigu. Les trois équations cherchées sont donc

a* = 6' + c'* — 'kbc cos A ,

ô'" = a* + c' — aoc cos B , } (A)

c* = a* -f- ^' — ^ab cos C;

ainsi y lorsque parmi les six parties d'un triangle trois seront connues, savoir les trois côtés j ou deux côtés et un angle , ou bien deux angles et un côté, on pourra déterminer les trois autres parties.

Lorsque le triangle ABC est rectangle , ces équations se simplifient beaucoup; en effet , soit A = i^, on aura cos A := o, et partant

a* = ft> + c%

c — a cos B = o , \ (B)

b — a cos C = o.

On retombe donc sur les deux théorèmes desquels on est parti , ce qui doit être; mais alors cosB = sinC. Ainsi de ces deux dernières équations Ton tire

sin C = % cos C :s= - :

ensuite en divisant Tune par l'autre ,

tangC = ^;

donc, dans un triangle rectangle^ i° le sinus d'un des angles aigus est égal au côté opposé dis^isé par l'hypoténuse ;

a®. La tangente âun de ces mêmes angles aigus est égale au côté opposé disnsé par le côté adjacent.

D'ailleurs, à cause de sin G = - et sin B = - , on a

-;— - := - . OU sin B : sinC :: 0 : c:

sm c c '

ainsi , dans tout triansle rectangle y les sinus des angles aigiis sont proportionnels aux côtés opposés à ces angles. De la relation c =^ a cos B j on tire

a — c = a (i — cos B) ;

mais I — cos B = a sin* \ B ; donc

a — c = aa sin* ^ B.

On a aussi

(i — cosB) . T^ a — c = a - — r-sr—^ sm B;

sinB '

et à cause de — ^-^ — == tang \ B, il en résulte que

a — c = b tang j B ;

donc l'excès de l'hypoténuse sur un des côtés de l'angle droit est égal au double du produit de cette ligne par le carré du sinus de la moitié de V angle aigu adjacent à ce côté^ ou bien est égal au produit d'un des côtés de Vangle droit par la tangente de la moitié de l'angle opposé.