LIVRE DEUXIÈME. 6i
Le numérateur du second membre étant le produit des deux facteurs (a + b -- c)y {a — b + à) y on donnera à cette équation la forme
sin^-|A =
bc
mais
a-hc — b a-^b-^c , ^ a -h b — c a -h b ~\- c =r i}f et = C :
si donc on désigne a + & + c par ap, on aura , après avoir extrait la racine carrée f
-iA=\/<^
formule qui peut être calculée facilement par les logarithmes , et qui donne très-promptement un angle d'un triangle dont on connaît les trois côtés. Si Ton y restitue l'homogénéité , et qu'on Ténonce en proportion^ il en résultera que i^ns tout triangle rectiligne, le produit de deux côtés quelconques est au produit des différences de ces mêmes côtés au demi-périmètre j comme le carré du rayon des tables est au carré du sinus de la moitié de V angle que ces côtés comprennent.
On peut exprimer d'une manière analogue le cosinus et la tangente de ^A : en effet , puisque i + cos A = a cos^-| A , on aura^ en mettant ici pour cos A sa valeur en fonction des trois cotés ,
d'où
, =51 COS*-tA,
C08HA=^A±i^';
puis procédant comme ci-dessus, il viendra
oo«iA = ^/P±HM±IE3 = v/£^^'«
6a TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
et à cause de — fj = tang -j A , il s'ensuit que l'on aura
tan ff X A - l /LPnillfZlf)
51. S'il était nécessaire de connaître les segments formés par la perpendiculaire CD du triangle ABC {^g. la), on y parviendrait de la manière suivante :
De la formule primitivement obtenue (art. 47), savoir,
a* =s b^ 4-c^ — fàcx ,
et qui peut s'écrire ainsi
(a + b){ a— b) :=ic{c — ix) ,
on tire cette proportion facile à graver dans la mémoire,
c:a+6;:a — ft:c — aar.
C'est-à-dire que quand la perpendiculaire CD tombe dans l'intérieur du triangle , la base ou la somme des deux segments est à la somme des deux autres côtés ^ comme la différence de ces mêmes côtés est à la différence des segments.
Soit donc û? cette dernière différence; on aura
.le plus grand segment = ^
le plus petit segment =
52. On s'assure bien aisément, par l'analyse, que la seule connaissance des trois angles d'un triangle rectiligne ne suffit pas pour en déterminer les côtés; car si dans les trois équations (A) l'on considère a, è , c comme les inconnues du problème, et que l'on ajoute la première équation à la seconde, la première à la troisième , et la seconde à cette dernière; ensuite que l'on divise respectivement ces trois sommes
par acy ^b, najon aura les équations suivantes du premier degré :
c — b cosA — a cosB = o, \ b — c cosA — a cosC = o, > (G^ a — c cos B — 6 cos G = o. )
Mais parce que celleft-ci ne renferment aucun terme tout connu , les valeurs de a^ &, c qu'elles fourniraient seraient nécessairement indéterminées; et l'on aurait pour le dénominateur commun de ces valeurs
I — cos' A — cos' B — cos' G — acos A cosB cos G = o :
c'est en même temps la relation qui doit exister entre les trois angles d'un triangle rectiligne, pour que leur somme soit égale à deux droits. {Application de r Algèbre à la Géométrie ^ par M. Lacroix, p. 141)
DIVERSES EXPRESSIONS DE l'aIRE d'uN TRIANGLE RECTILI6NE.
S3. Soit S Taire du triangle rectiligne ABG {Jig> i t) , et^ sa hauteur; on aura
g AB X CD ___^.
mais^ = 6 sin A ; donc
S = |ftcsinA. (i)
D'ailleurs, à cause de sin G ; sinB : ; c : 6, on a 6= . ? et
^ ^^ c* sin A sin B / x
^"~ Tsin(AH-B/ ^
Telles sont les deux formules qui donnent l'aire d'un triangle rectiligne, connaissant deux côtés et l'angle compris , ou bien un côté et les deux angles adjacents. D'un autre côté , à cause de
a':6':£?': :sin' Alsin'Bisin' (A -h B),
on a cette autre proportion
a^ « b^',c^ : :sin' A - sin' Bisin' (A + B);
ainsi , en définitive , la valeur précédente de S devient , en y mettant f celle de c^ tirée de cette dernière proportion,
^ a* — b* sin A sin B . /qv
^- ~T~-8in(A-B)' ^^^
expression qui se présente sous la forme § lorsque a = 6 ; mais alors l'équation (2) donne
S = y- tang A.
Il est utile en outre d'avoir la valeur de S en fonction des trois cotés: or y si dans la formule (i) l'on met d'abord pour sin A sa valeur ^ sin|A cos^ A, on aura
S = fc sin 1^ A cos^ A.
Ensuite, si pour sin^A et cos^A on substitue leurs valeurs trouvées à l'art. 30, on obtiendra sur-le-champ
S = y/pip-à){p-^b){p^cy (4)
De cette dernière expression de S ressort naturellement la vérité de ce théorème , savoir : Entre tous les triangles isopérimètres et de même base, le triangle isoscèle est le plus grand.
En effet la somme des deux facteurs variables et inégaux p^a^p — by étant constamment égale à c pris pour base, leur produit sera toujours moindre que le carré de la moitié de cette ligne; si donc a = b^le ti^iangle sera isoscèle et sa surface un maximum.
Tous les théorèmes précédents peuvent sans doute se déduire de la simple Géométrie , et plusieurs même dérivent de constructions fort élégantes; aussi n'avons-nous adopté dans cette circonstance la méthode analytique qu'à cause de sa fécondité, et que parce qu'elle fournit de la manière la plus simple toutes les formules trigonométriques connues.
