DE LA TRIGONOMÉTRIE SPHIÉRIQUE

TTiéorème fondamental.

S4. Les principes pour la résolution des triangles sphériques dérivent d*une seule équation que Ton déduit naturellement d'une propriété des triangles rectilignes , représentée par Tune des équations (A) (art. 47).

Soient [fig* 1 3) AD la tangente et OD la sécante de l'arc AB ;

Soient de même A£ la tangente et 0£ la sécante de l'arc AC.

-Si l'on désigne 9 comme à l'ordinaire , par A, B, C les angles, et par a^bjc\es côtés opposés du triangle sphérique ABC construit sur la surface d'une sphère du rayon i , et dont le centre est en O , le triangle rectiligne ADE donnera, en faisant DE = X9

ar* = tang^ b -h tang'* c — 2tang b tang c cos A ;

le triangle ODE donnera de même

x^ = séc^ b + séc^ c — 2 séc b séc c cos a :

soustrayant de cette équation la première , et faisant attention que séc^ b — tang* 6 = i , on aura , réduction faite ,

sin bsme . cos a

1 H f COS A > = o ,

cos^cosc cos o cos c ^

et par conséquent après avoir chassé le dénominateur,

cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A. I. * 9

Telle est Féquation fondamentale qu'il fallait trouver, et qui ferait connaître le troisième côté d'un triangle sphérique, si les deux autres côtés et l'angle qu'ils comprennent étaient donnés: elle est facile à p, ,r retenir. La démonstration que nous venons d'en donner est due à ^ '^ ^*^' ' ^ De Gua , qui l'a publiée dans les Mémoires de V^icadémie des Sciences (année 1783). Lagrange et d'autres géomètres célèbres l'ont depuis adoptée dans leurs Traités de Trigonométrie : on en verra une nouvelle dans le livre IV, au chapitre des parallaxes.

Une simple permutation de lettres* fournit deux autres équations toutes pareilles ; ainsi Ton a

cosa = cosô cosc + sini sine cosA,

cos b =: cos a cos c + sin a sin c cos B , \ (a).

cos c r= cos a cos 6 + sin a sin & cos C.

Il ne s'agit plus que de combiner convenablement ces trois équations , pour parvenir aux relations qui offrent le moyen de résoudre tous les cas possibles des triangles sphériques.

55. Si de la première équation Ton tire la valeur de cos A , et qu'oYi l'introduise dans la relation sin^A = i -^ cos^A , on aura

. « . cos* a H- CM* h cos* c — acos a cos b cos c

sm^ A = I . ,, . , ;

sin* b sin* c

réduisant les termes du second membre au même dénominateur, multipliant haut et bas par sin^ a et extrayant la racine , on obtiendra

. . J (\ — cos* a — cos* b — cos* r -f- 2 cos a cos b cos c)

sm A = sm a. — -, r— r-. ;

sin tf sin 6 sin r

désignant par M toute la fraction qui multiplie sin a , on pourra écrire plus simplement

sin A = M sina;

et puisque M est une fonction symétrique ou invariable, quel que soit l'angle dont on cherche le sinus, il'est évident que l'on aura