LIVRE DEUXIEME

A-hB — C X = ;

l'angle oc pourra donc s'évaluer, si les trois côtés a^b^c sont connus. Quant à l'arc AO = R , on l'obtiendra par la formule

• tang R = ^"^^"^ = 4»iPT^sin^^ sin|g

Voyez d'ailleurs la note citée.

67. On sait qu'un triangle sphérique est déterminé de grandeur, quand on connaît le rayon de la sphère à laquelle il appartient , ainsi que deux de ses côtés et l'angle qu'ils forment entre eux ; car par l'une des formules (a) l'on peut obtenir le troisième côté. Un triangle de cette espèce est aussi déterminé de grandeur, si, outre le rayon de la sphère, on connaît deux angles et le côté qui les joint. Cherchons les formules relatives à ce cas, et pour cet effet reprenons la relation

cosA sine = cosa sini — cosC sina cos&. On voit qu'en y mettant pour sin a et sin c leurs valeurs respectives

sin A sin h sin€ sin h

sinB ' sinB '

elle devient

cos A sinC = cosa sin B — sin A cosC cos h ;

changeant A en B et a en ft , e^ vice versa ^ on a pareillement

cosB sinC = cos 6 sin A — sinB cosC cosa;

puis éliminant cos A entre ces deux équations, il vient pour la relation

cherchée ,

cos A = cos a sin B sin C — cosB cos C ;

on a donc

cos A = cosa sin B sin C — cos B cos G ,

cos B = cos A sin A sinC — cos A cos G, \ (e)

cos G = cosc sin A sinB — cosA cos B.

Ce système d'équations est analogue à celui que nous avons désigné par (a), et il est remarquable que l'un se déduit de l'autre, en écrivant ABG au lieu de abc^ et réciproquement; les cosinus étant toutefois affectés du signe négatif. La propriété du triangle polaire ou supplémentaire donne lieu à la même conséquence; car si A', B', G' sont les angles de ce triangle, et a\ 1/ c' les côtés opposés , on a [Géométrie de Legendre, propos, IX, livre VII) ces relations:

a' = aoo^ — A, A' = 200^ — a,

i' = aoo — B, B' = 200 —A, c' = 200 — G, G' = 200 — c;

mais nous savons que

cos^' = cos A' cosc' + smb' sine' cos A';

par conséquent

cos (200 — A) = cos (200 — B) cos (200 — G)

sin (200 — B) sin (200 — G) cos (200 — a) ,

et enfin, comme ci-dessus,

— cos A =: cosB cos G — sin B sin G cosa.

68. On peut donc appliquer la règle que l'on vient d'énoncer à toutes les formules démontrées jusqu'à présent, ou bien traiter analytiquement les formules (e), comme nous avons traité leurs analogues (a) : de l'une ou de l'autre manière , Ton parviendra à de nouveaux systèmes d'équations qui compléteront la résolution de tous les cas de la Trigonométrie sphérique. Pour nous borner aux expressions