LIVRE DEUXIÈME, les plus utiles, nous remarquerons d'abord que Ton a

I— cosa =

i-t- cosa —

cos(B -♦- C) -h cosA . o,

sin B sin G ^ '

cos A + cosf B — C ) o <

—^7. = 2 COS * ^ a ;

sinB sinC ^ '

mais en général

cos

p + cos q = ^ cos ( — — - \ cos (- \ ,

ainsi

sin^^a =

cos*-|^a =

tang*|a =

-> oos-^(A H- B 4- C) cos|(B -h C — A)

sin B sin C '

cos-^(A + B — C) cosj ( A + C — B) sin B sin C '

— cos|(A4-B4-C)cosT(B-h C — A)^ cosi.( A -h B — C) cosi (A -h C — B)'

l'une de ces trois formules donnera un câté au moyen des trois angles ; ainsi , par la première , on a

sin|^ = y

— cosi(A-hB-f-C)cos|(B + C — A)

sinBsinG

Si la quantité qui est sous le signe radical était négative, comme elle le paraît d'abord , il serait impossible de déterminer la valeur de sin ^ a : cette valeur est cependant toujours réelle , car en général sin (x — i^) = — cos a;; donc

. /ah-b + c

-,^) = -cos(-:t — j,

quantité qui est toujours positive , parce que A + B + C étant nécessairement compris entre 2^ et 6^, on a

— i^ > o et < a«.

D'ailleurs le côté d*un triangle sphérique étant plus petit que la

somme des deux autres, on a, par la propriété du triangle polaire,

a^ — A<2'*— -8+ a''— C, d'où -^^^ < i"*; angle dont le cosinus

est positif.

69. Nous pouvons maintenant tirer des conséquences semblables à celles des art. 55 et 66, ^voir, que

. • I— cos'A — cos*B — cos'C — 2CosAcosB cosG

sm' a = . ,p —7; ,

su * B sin ^ G '

— 4cosScos(S — A) cos(S — B) cos(S •— C) ~ sin*B siii»C ^

olS désignant la somme des trois angles.