LIVRE DEUXIÈME

ce qui donne une relation entre deux angles et deux côtés. Pour en avoir une entre les trois côtés et deux angles, différente de celle de l'art. 65, divisez l'une par l'autre les équations

cosa = cosb cosc + sin b sine cosA,

sin a . sin g sinA sin C'

il viendra de suite

sin A cota = sinC [sinb cosA -f- cosb cote]:

la relation semblable entre les trois angles et deux côtés sera visiblement

sina cotA = sine [sinB cosa •— cosB cotC].

71. Toutes les formules que nous venons de démontrer suffisent pour les besoins ordinaires de l'Astronomie , et surtout de la Géodésie; cependant nous allons en donner encore d'autres qui pourront trouver leurs applications, ou du moins qui concourront, avec les précédentes, à faire connaître la fécondité de l'Analyse trigonométrique.

Si de la formule

sin (a — e) = sina cosc — cosa sine, on élimine sina et sine, dont les valeurs respectives sont . ■ — et

' ^ sin B

sin 6 sin G

— . - , on aura smB '

sin (a — e) =

sin b cosc sin A — sin ^ cosa sinC

sinB

mais à cause de la relation cose sin A = cosC sinB -4- cosa sin G cosB, donnée à l'art. 67, il est évident que l'expression précédente se changera en celle-ci :

sin (a — e) = sinb cosG — cosa sine sinG ( — ~^ ) y

de là

sin (a — • c) = sinb cosC — cos^i sinb sinC tang^B,

formule donnée par Delambre et démontrée dans son Astronomie à l'aide d'une construction que nous avons voulu éviter ici, afin de rendre notre procédé purement analytique. Cette formule est une généralisation de celle de l'art. 62.

Déterminons aussi a — c par son cosinus et par sa tangente. D'abord la relation

cosb = cosa COSC + sina sine cosB,

en y mettant pour cosB sa valeur i — a sin^^B, devient

cosi = cos(a — c) — a sinasinc sin^^B;

j sinésiaC sin ^ sin C 19

puis , a cause de sm c = — :— ^— = . ,t> — rs , on a i expression cherchée

cos(a ~ c) = co&b + sin a sinb sinGtang|By

par conséquent

. . tang^cosG — cosa tang6 sinC tangjB^

tang(a — C) — r+ sina tang^ sinC taiig|B '

formules nouvelles et qui rentrent évidemment dans celle de l'art. 62, lorsque le triangle sphérique est rectangle.

72. Les relations {&) de l'art. 64 procurent de suite ime expression très-simple de sin (^i — c); en effet l'on a, en y changeant B en C et b en c^ et vice versd y