LIVRE DEUXIÈME

multipliant celles-ci Tune et Vautre et simplifiant, on a

►m (a — c) = 2 -J^ — L\ L = sin b

cosC — cosA sin

COS*yB 2COS*jB

On trouverait aussi par une route toute semblable

.... sinècosT(A + C)cos4-fA— C) . «cosG + cosA

sm (a+c) = ' / , ' '^ = smb ^.-tt^- j

expressions données par Delambre {^Astronomie , t. I , p. 16^) , et qui, étant multipliées entre elles , pix)cureraient une autre relation remarquable, mais que nous trouverons plus tard par une autre voie.

Si l'on rapproche les <leux valeurs de sin (a — c)^ on aura visiblement

sin

int(A + C)MBf(A-C) ^ ^^^ ^^^^ ^ ^.^ C tang i B,

bu bien

2 sin 4^ (A + C) sin-^ (A — C) = a cos* | B cosC — cos a sinB sinC,

relation nouvelle entre les trois angles et un côté d'un triangle sphérique; mais on peut y arriver par une route beaucoup plus directe. En effet , les deux équations

cos A = cosa sinBstnC — cosBcosC^ cosC = cosC,

étant soustraites l'une de l'autre, puis ajoutées ensemble, donnent, après quelques transformations £siciles ,

a sin-|-(A+C)sin^(A — C) = 2Cos*|BcosC — cosasinBsin C, a cos |(A -f- C) cos {^ (A — C) = a sin* | B cos C + cos a sin B sin C ;

il suit de là que

tang^ lA + i.) tang , (^A - <. j - ^ ^.^. ,^ ^^^ ^^^^ sin b lin c " Nous nenous arrêterons pas à faire voir que le triangle supplémentaire

donnerait sur-le-champ des relations semblables entre les trois côtés et un angle.

73. On arrive très-simplement à diverses relations entre les six par* ties d'un triangle , ainsi qu'il suit.

En vertu des art. 64 et 67 on a

cosA sin c = cosa sin 6 — cosC sin a cosby cosa sin C = cos A sin B + cos c sin A cos B ;

divisant ces deux équations en croix, il vient

cos A sin B H- cos e sia A cosB cos a sin C

cos A sin c cosa sin b — cosC sin a cosi*

et simplifiant , on a

sin B -h COSC tang A cosB sin C

sin c sin ^ — cosC tang a cos b *

divisant au contraire membre par membre les mêmes équations , et

sine sin a ^

remarquant que -^-- := -r— r-, on trouve

sin lu sin A

cot A cos a sin 6 — cos G sin a cos b cota cos A sin B -f- cosc sin a cosB

Si dans la première équation l'on changeait A en B, a en b^et réciproquement, et qu'on procédât comme il vient d'être dit en premier lieu , on tomberait sur la relation

cos A tangB + sin Acosc sin G

sine cos b tanga — sin b cosG

donnée par Delambre.

Enfin si l'on multiplie par cosB les deux membres de l'équation

cosB sinC = cosésin A — sinB cosC cosa.