LIVRE DEUXIÈME. gî

On aura le côté a, par exemple, à l'aide de la formule

iin ^ a = w -

sm * a = ^/-«>8t(A + b + C)cosKB + c-a) .

sinB sinC '

on pourrait aussi obtenir ^ a par son cosinus ou par sa tangente (art. 68).

76. 3® Cas. Étant donnés deux côtés a , b , et l'angle compris C , trouver les autres patries du triangle.

On aura le troisième côté c par la formule .

cosc = cosa cosb + sina sine cosC;

mais son emploi immédiat exige que Ton fasse usage de la table des sinus et de celle des nombres. On remédie à cet inconvénient en décomposant en deux facteurs le second membre de la formule; mais cette opération ne peut se faire qu'à l'aide d'un arc auxiliaire. Soit donc (p cet arc, et de plus M un coefficient indéterminé, en sorte qu'on ait

COSC = Mcos(a — 9);

développant cette expression , il vient

COSC = M cosa coscp + M sina siny, d'ailleurs

cos c = cos a cos b -+■ sina sin b cos C ;

et comme ces deux valeurs doivent être identiques , on a , en les égalant terme à terme,

M cos <p = cos &, M sin ç) = sin b cosC, d'où

et par suite,

tangç = tangi cosC, M= ,

cosb f V

COSC = cos (a — 9).

cos f ^ '

Autrement l'on a

cosc = cosb [cosa + tangé cosC sina] ,

et si Ton fait tangé cosC = tangf , on aura , comme ci-dessus,

COSC = cosft [cosa + tang<p sina] = [cosa cos(p + smy smaj

cos b f V

= COS (a — ® ).

L'arc auxiliaire <p représente donc le côté de l'angle droit d'un triangle sphérique rectangle, dont h est l'hypoténuse et C l'angle oblique adjacent (art. S6); en d'autres termes, c'est le segment adjacent à l'angle C, formé par la perpendiculaire abaissée du sommet de l'angle A sur la base a opposée. Lorsque tangf sera négative, auquel cas le segment sera extérieur au triangle , on prendra ç négativement ,• et par conséquent l'on aura cosc = cos (a -4- <p) ; du reste il faudra avoir

égard aux signes des cosinus.

Quant au segmenta de l'angle A, opposé au segment 9 de la base a , il est donné par la relation côtd ;= cos 6 tangC, démontrée à l'art. 61.

77. Si, dans l'expression de cosc, on met pour cosC sa valeur I — asin^^C, il viendra d'abord

COSC = cos (a — 6) — asin a sin h sin* ^ C ;

puis si Ton change de même les autres cosinus , on trouvera , réduction

faite ,

sin*-|^c = sin* \{a — è) + sin a sin h sin* \ C

.5., , V r sin /i sin ô sin* 4- Cl

Soit