LIVRE DEUXIÈME. gS

on aura évidemment

sm\c^sin±{a-b) (i + tang»9)^ = ^^^,

solution analogue à celle de l'art. 47: elle est surtout utile lorsque le côté c ne peut être déterminé rigoureusement par son cosinus , à cause de l'exactitude limitée des Tables de logarithmes. En efFet , quand c est très petit 9 son cosinus diffère si peu de l'unité que le logarithme correspondant , qui ne renferme que 7 chiffres décimaux , appartient indifféremment à un arc plus grand ou plus petit. On ne tomberait pas dans cet inconvénient ^ si \c était peu différent du quadrant, et qu'il fut donné par son cosinus.

Pour l'obtenir de cette manière , cm remarquera qu'à cause de

cosc = 2COS^^c — I, et de cos(a — i) = sicos^^(a — i) — - i,

on a

cos^-^c = cos*^(a — b) — sina sine sin^^C

2 4/ rv r sinûsinftsin'icn = cos^i(a — 6) I -77 rf- ;

or, ici l'on peut égaler au carré d'un sinus la quantité qui suit l'unité dans le second membre , parce que le problème n'est possible qu'autant que le facteur binôme est positif.

Soit donc

si"® = cos|(J~^) V^sinasini, on aura

cosjC = cos^ (^ — b) cos 6 :

la seconde racine négative est inadmissible , puisque |c < i*^. Lorsque a — b est très-petit , il vaut mieux, pour l'exactitude de la soUition numérique , changer cosC en acos* iC— i , et l'on voit bien pourquoi , d'après une transformation analogue opérée à la fin de l'art. 47.

78. Quant aux angles inconnus A,B, ils se déduiront tous deux

des analogies de Néper, qui donnent

tangi(A + B) = coticg^^, tangX(A-B) = coticg^;

car ensuite on a

A=|(A + B)+1(A-B), et B=|(A4- B) -- i(A ~B). On aurait aussi directement

^. cotâsin^ — cosGcos^

COtA = 7-j; ,

anC '

^^ cot^sina — cosGcosa COt B = r-7; ;

smC

et pour réduire, si l'on veut, à un seul terme chacun des seconds membres y le premier, par exemple; soit comme ci-dessus ç un angle auxiliaire, et M un coefficient indéterminé, puis supposons que

cot A = M sin (ft — ç) ,

on aura, en développant,

cot A = M sinft cos<p — M cosft sinçi; ensuite, en comparant cette valeur à la précédente, il viendra

d'où

tangf = tanga cosC, et cot A = -. — sin (A — 9) ;

ce qui revient à diviser le triangle proposé en deux triangles rectangles.

79. Les angles subsidiaires ont donc pour objet de transformer les expressions binômes en un seul terme , afin de les rendre plus faciles