UVRE DEUXIÈME

à évaluer par les logarithmes. On s'en convaincra de nouveau en résolvant le problème suivant :

Étant donnés, comme ci-dessus , a, b, C, déterminer directement rare de grand cercle perpendiculaire au côté inconnu c , et compris entre ce côté et le sommet de l'angle C opposé.

Soitp cet arc ou la hauteur du triangle , on aura évidemment

. « . . siiiasiii^sinC sinp = sin o sinA = —

sine '

d'ailleurs, par ce qui précède,

sine = V^i — cos^c = V^(i + cosc)(i — cosc)

= v/[iH- cos{a — b) — asinasinisin*"!^^] [i — cos (a — ft) + asinasinisin*^C] = 2^[cos*^(a — ft) — sina sin^ sin^^C] [sin*-|^(a— b) + sin^isinftsin^.jC].

Substituant donc cette valeur dans l'expression précédente , on trouvera , après quelques transformations aisées ,

sin a sin ^ sin G

sm p = . , - — =

^(cosa sin b — sina cos ^ oosC)* -h sin'n sin' C

cotjC

/r co9>x(^-6) 1 r sin»|(/i-5) V Lsimisin^sin^-yC J Lsinasin^sin*4(

Soient maintenant

co^'Ha-h) . a^ et sinH(^-r^) . > .. ainiisiBésin'i.G — ^^ " ^ ^^ sin a sine sin» i-C ~ ^^"6 " y

alors l'expression précédente se changera en celle-ci :

sinp = cotw cos w' cot~C.

La solution qui se présente naturellement est de chercher d'à-

bord le côté c par son cosinus , et de résoudre ensuite Féquation

sinasin^sinC

sinp = :

' sine

Voyons cependant si , en calculant directement la perpendiculaire p par sa tangente , il n'y aurait pas quelque chose à gagner du côté de la brièveté.

On a

j sin*/? sin*asin*^siii*C

^ « I — sin*/? sin*c — sin»ûsin*^sin*C'

substituant pour sin^c sa valeur i — (cosa cosô + sina sine cosC)^ , puis développant et réduisant , on trouvera

^ sin*asin'^sin*C

^ « I — cos*flcos*^ — sin*«sin*^ — asin^rcos^isin^ cos^cosC *

mettant dans le dénominateur, sin^a + cos^a à la place de l'unité, et réduisant encore , on obtiendra facilement

j sin*asin*^8in*C

O * «in*/» /»r»«*

sin^ a cos* h + cos" a sin^ b — 2sin a cos a sin b cos b co8 C

sin* a sin* b sin* C ,

sin*(fl — b)-\- 4sin a cos a sin b cos b sin*-5"C

enfin, faisant

sin ^a sin 7.b sin* tC

sin* {a — b)

= tang^ $ ,

on aura cosdsinastn^sinC

solution plus courte que la première.

80. Il est facile de trouver d'autres expressions de Tare perpendiculaire , lorsqu'on ne s'astreint pas à les rendre uniquement fonctions de deux côtés et de l'angle compris. Par exemple , si l'on élève au carré l'équation sinp = sinb sin A, et qu'on fasse attention que sine sin A = sin a sinB, on aura évidemment

sin^ p = sin a sin 6 sin A sin B , de là cos^p = i — sin a sin b sin A sin B.