LIVRE DEUXIÈME
D'ailleurs, à cause de cosC = sin A sinB cosc — cosA cosB , on a
A * i> cosG + cosAcosB sin A sin B = -!- ,
COSC
«t par suite,
* COSC — > sin a sin b cosG — sin a sin b cos A cos B
COS'p=
' cosc
cos a cos b — sin a sin b cos A cosB
COSC
expression due à Delambre, et qui renferme trois côtés et deux angles. On peut aussi rendre sin p fonction des trois côtés seulement , en mettant dans l'équation sin^ = sin 6 sin A , pour sin  sa valeur donnée à l'art. 55.
Mais aucune de nos solutions n'indique si la perpendiculaire p est plus petite ou plus grande qu'un quadrant. Pour lever le doute, il faudrait connaître les angles A et B; car s'ils sont de même espèce, la perpendiculaire tombera dans le triangle , et sera aussi de l'espèce de ces angles (art. 63).
81. Nous avons vu plus haut que la 3* équation (a), art. 54, prend cette forme
sin^^c = sin*^ (a — ^) + sina sin b sin* |C; son analogue (e), art. 67, devient, par le même procédé,
sin* jC = cos* -|^ (A -H B) -H sin A sin B sin* | c ; or , si l'on élimine sin* ^ C entre ces deux résultats , on obtiendra
. 2i sin'Kfl — 6) + sinâsin6cos*|(A+B)
^ I — smâsin^sinAsmB
Par une marche parfaitement semblable on trouverait
cos* ^ c = cos* ^ (a + 6) + sin rt sin b cos* ^ C , cos* -^C = sin* |(A — B) -4- sin A sin B cos* | c , I. i3
par suite
et enfin
j ^ C08* Kfl H- ^) -4- sina sin b sin* - (A — B)
COS "n" C ^— • : 7 • I ' Ti y
^ I •— sinasin6sinAsiiiB
2 1 sin'Krt — ^) -h sin a sin 6 COS* 7 (A 4- B)
^ ^ COS* Y (ûJ H- ^) -h sin û sin ^ sin* 7 (A — B)"
C'est une des relations curieuses trouvées par Delambre {Astronomie y tome I, page 20 1). Il en existe une toute pareille entre les trois angles et deux côtés , et cela est une suite naturelle de la propriété du triangle * polaire. Mais en veut-on une différente composée de ces mêmes quantités? Il n'y a qu'à multiplier l'une par l'autre les deux équations suivantes :
.A cosa sin 6 — sina cos ^ cos C sin(«-|-6)sin*7C — sin (a — ^)cos*7C
sin tf sin G sinasinG '
.p cos^sing-^sin^cosflcosG sin(fl-|-^)sin*|G-i-sin(« — ^)cos*|C
sindsmG sin6smG
obtenues à l'art. 65 , et l'on aura
COt AcotB = ^'(^ +^)«°HC--sin>(a - ^)cosHC
smasm6sin*G
ou autrement 9 à cause de sin* C = 4 sin* \ C cos* -j C , il viendra 4 sin a sin h cot A cotB = sin* {a + b) tang* i C — sin* {a — h) cot* { C ;
relation qui nous paraît nouvelle et assez remarquable.
Si , au contraire , on ajoute les valeurs de sin a cot A et sin b cot B , on aura de suite
sin ft cot B + sin a cot A = sin {a + b) tang | C, pareillement
sin b cot B — sin £1 cot A = sin {a — b) cot \ C ;
enfin multipliant, ensuite divisant ces deux résultats l'un par l'autre , il
viendra
sin^b cot^ B — sin* a cot* A = sin (a -h i) sin (a — è) ,
sin^cotB + sinacotA sm(«-+-^) a 1 p
dn^cotB^-sin^ cotA sin(a — b) ^ ^
Toutes ces relations fort simples pourraient servir , dans un calcul trigonométrique, à réduire en un seul terme des quantités complexes.
82. Avant de quitter cette digression sur les recherches de ce genre, nous ferons encore remarquer que les deux équations fondamentales
sin 6sin c cos A = cosa — cosb cosc ,
sinA sina
sin B sin ô ^
étant divisées l'une par l'autre, donnent tout d'abord cette autre relation connue ,
. . -. cos a — cos b cosc
cot A sm B = -. — -, .
sinasinr
On pourrait, par de semblables artifices de calcul , trouver beaucoup d'autres relations trigonométriques , mais qui seraient plus curieuses qu'utiles.
85. 4* Cas. Étant donnés deux angles k, B et le côté c compris^
résoudre le triangle.
La solution relative à ce cas est toute parâlle à la précédente ; ainsi on aura les deux côtés a, b par les formules de Néper , savoir ,
4 / »\ i cosf(A — B)
tangi(a4-i») = tangue ^^r^^rfrë)'
tangi(a -b) = tangue -^^..j^) ,
sin-^(A + B) ou par celles-ci :
cot A
cotAsinB+cosBcosc ^ ç^. cos(B-(p), tang<p= — ^,
^Oj j ^ cotBsipA + cosAcosc ^ ço^ ^,(^^)^ ^^^^^^
cotB
sine cosf \ ' ^ cosc
loo TRAITÉ DE GÉODÉSIE. Ayanf déterminé a et 6, on trouvera sin G par l'équation
. ^ sine sin A !• ^ ^ i r i ^
sinC = — ; , ou directement par la formule
cosG = coscsinAsinB — cosAcosBf
ou bien soit tang ^ =z , on aura
cosG = -V — sin (A — <p) .
sm «p ^ ^
Pour trouver l'expression du sinus ou de la tangente de l'arc perpendiculaire au côté c en fonction des données actuelles , procédez comme dans le cas précédent ^ ou y ce qui est plus simple ^ transférez au triangle polaire les résultats ci-dessus (art. 79).
84. 5® Gas. Étant donnés deux côtés a, b et V angle A opposé au premier côté, trousser le troisième côtéc et les deux autres angles B, G.
L'angle inconnu B s'obtiendra par la formule sinB = — . ; et
pour trouver l'angle G, on aura à résoudre l'équation
cot A sin G + cos G cos b = cota sin 5,
qui monterait au second degré si l'on y mettait pour cos G sa valeur y/i — sin' G, et qui fournirait par conséquent deux racines. Ainsi le problème proposé est susceptible de deux solutions. Mais au lieu de suivre cette voie, il est plus simple d'introduire dans le premier membre de l'équation un angle auxiliaire tpj tel qu'on ait
M sin (Gh- (p) = cota sin b.
Pour déterminer cet angle ainsi que le coefficient M , développons et comparons terme à terme les deux membres deces équations, il viendra
Mcos^ = cotA, Msin? = cosi.
Delà
A 7 • /^ \ tans ^ sin «p
tang ^= tang A cos 6 et sm(GH-^)= — ^- — -:
