LIVRE DEUXIÈME. loi

ici i' — ^ est l'angle au sommet C du triangle formé par le coté b et la perpendiculaire abaissée sur la base c (art. 61).

Lorsqu'on substitue pour cos6 sa valeur déduite de la seconde relation (ê) , on a

^ cosB + cosAoosG ^°g^= ccArinC > on a en outre

sinC

^^ cx)tatang^ — cosG*

Le troisième côté c sera donné par l'équation sinc= — =~~r~; ou bien^ en n'employant que les données primitives j par la formule

cos 6 cos c -h cos A sin /^ sin c = cos ^9 qu'on transformera en celle-ci

àl'aide d'un arc subsidiaire^ donné par l'équation tang ^ = cosA tangé. Cet arc, qui est le segment adjacent à l'angle A j çt qui se trouve formé par la perpendiculaire abaissée de l'angle C sur le côté opposé , peut s'exprimer analytiquement de plusieurs manières différentes , selon les données du problème ; par exemple , si les trois côtés sont connus , on aura

tang:9 = tang£^cosA= t—. .

° ^ ^ cos 6 sin c

Si deux côtés et l'angle compris sont donnés , on aura

sin b cos A cos a sine — sin a cosc cos B ^™ "^ cos^ "^ cos û cos c -h sin «sine cos B'

c'est ce qu'il est aisé de voir. Il n'est pas plus difficile de reconnaître que

sinccosA sine cotAsinB

^ ^ cotB sin A + cosccos A tang A cotB -f- côs c cosécucos^*

loa TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

Le même segment pourrait aussi s'exprimer en fonction des trois angles.

85. 6* Cas. Étant donnés deux angles A c« B a^ec le côtédi opposé

au premier y trousser les deux autres côtés b, c et le troisième angle C.

La solution de ce problème se déduit de la précédente par la propriété

* i> du triangle polaire; ainsil'on aura le côté 6 pari' équation sin&= — r—^ ,

et le côté c par la formule

cot a sin ^ — cosB cos c = cot A sin B, de laquelle on tirera

/ ^N tangBsincp ^ ^' tangA '

en y introduisant un angle auxiliaire p donné par l'équation

tang^ == cosBtanga.

Enfin l'on trouvera l'angle C au moyen de l'équation

cosa sin B sinC — cos B cosC = cos A ;

mais, pour abréger le calcul, on fera tang (p = y et l'on aura

cosa

• /^^ ^\ cos A sin»

Ce problème est, comme le précédent, susceptible de deux solutions fart. 60). Voyez la Trigonométrie de Legendre, pour savoir distinguer dans ces deux cas si parmi des valeurs particidières des quantités données, il existe deux triangles qui satisfont à la question, ou seulement un seul. Ici nous supposons les cas les plus généraux.

86. Si l'on connaissait deux angles A, B, ainsi que les deux côtés opposés a, bj et qu'on voulût déterminer immédiatement le troisième