LIVRE DEUXIÈME. io
angle C y on pourrait transformer la relation
. , ,v sinrsiii7(A + B)sii)T(A — B)
démontrée à l'art. 72 , en cette autre ,
8in(«i-*) = ^?^tang|Csm|(AH-B)8inA(A-BJ,
qu'on obtient en multipliant le second membre de la première , haut et bas, par sin C; et de là on aurait
^ 1 ç sin A sin (g -^&)
™'« 2sinflsin|(A-hB)sin|(A— B)'
sansambiguité.
Il résulterait en outre de l'article cité,
cot^C= nn Asin(fl--4-^)
^ îisinacosl(A-HB)cosf(A— B)"
Si l'on voulait l'angle G par son cosinus , il faudrait de l'équation
cosC = cosc sin AsinB — cosAcosB
éliminer cosc = cos acosfr + sin asin b cosC^ et l'on aurait, mais d'une manière beaucoup moins commode pour les logarithmes ,
^ cosacos^sinAsinB — cosAcosB
COSLi= : ;■— 7— : — , . .
I — sinasinosinAsmB
Lorsqu'on multiplie entre elles les valeurs ci-dessus de tang | C et cot -^ C, on a de suite la relation
sin* a sin (fl 4- A) sin (a — b)
sin» A ~ sin(A-+-B)sin(X^B) '
io4 TRAITÉ DE GÉODÉSIE,
que l'on peut vérifier ainsi qu'il suit : En général j
sin^rt— sin^é = sinrfl-hft)sin(a— i) ) ,^
\ . [ \ art. 45:
sin^ A - sin^ B = sin (A -h B) sin ( A - B)
ainsi j
. . , sin* b \ sin* a\ I — . , .
^in* a J sin {a -h b) sm (a — b) .
sin* A( I —
sin'
lîn*lB\ sin(A-f-B)sin(A — B) ' sin* A
sin b sin B 1
mais -: — =-r---: donc, etc.
sin a sin A ^
Dans les applications numénques , il faudra , pour éviter les solutions inutiles ou fausses , avoir égard aux signes des lignes trigonométriques (art. 46)5 et se rappeler les trois règles suivantes:
i^. Tout angle ou tout côté d'un triangle sphérique doit être plus petit que deux quadrans;
t2^. Les plus grands angles sont opposés aux plus grands côtés , et réciproquement ;
3^. Enfin j un angle ou un côté d'un triangle sphérique ne peut être négatif.
DE QUELQUES PROPRiiTlÊS REMARQUABLTIS BU TRIANGLE SPHERIQUE , ET NOTAMMENT DE DIVERSES EXPRESSIONS DE SA SURFACE.
87. Il existe une propriété du triangle sphérique de laquelle on déduit immédiatement une relation entre les trois angles et deux côtés. Cette propriété est que si Von divise en deux parties égales^ par des arcs de grand cercle ^ chacun des angles dun triangle sphérique y ces arcs se couperont au même point.
Supposons que les arcs Atz, Ce (Jig^ i5), divisent en deux parties égales les angles A, C, et se coupent au point R; il s'agit de prouver que l'arc de grand cercle BR6 divisera aussi en deux parties égales l'angle B.
Or, les deux triangles CAR, RAc, donnent
sinAG sinCR sinAr sincR
sin R sin-J-A ' sinR sinjA*
UVRE DEUXIEME. io5
divisant ces deux équations Tune par F autre, on a
sinAG sinCR
sinAc sincR^
ainsi , quand un arc tel que AR divise également un angle d'un triangle sphérique, le^ sinus des segments du côté opposé sont entre eux comme les sinus des côtés adjacents.
Le triangle ACB, dans lequdi Ce partage en deux parties égales Tangle C j donne par conséquent
ûnAG sinCB
sin Ac sin cB *
de ces deux rapports égaux il suit que
sinCR sinCB sincR sincB'
donc l'arc BR divise également Tangle B. Donc^ etc.
Maintenant il résulte de l'art. 70 et de l'hypothèse ci-dessus , que les deux triangles BAR, GBR donnent respectivement
*.»» cot-yAsin-fB , ^ . ^
cotBR = — ^ ^ H- cote coslB,
cotBR = ^ »^,^^" -I- cota coslB;
SlDâ
on a donc la relation cherchée en égalant ces deux valeurs , et en réduisant, savoir:
sin (a — c) = (cot-^ C sin c — cot| A sin a) tang-^ B ;
c'est à quoi l'on parviendrait encore par quelques artifices de calcul appliqués à la valeur de sin (a — c)y donnée à Fart. 72.
sin a
sine
Si 1 on fait attention qu a cause de - — r- = -r-;^ , 1 on a
^ ain A «m I.
Sin A
. . sincoosA
sinacotA= — r-^ — ,
^^ sinaoosG smc cote = r-T — ,
sinA '
io6 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
et par soustraction
sinccotC — sinacotA = -^-7 (cosC — cosA);
sin A ^ '^
alors en mettant pour cosC et cos A leurs valeurs acos^ ^ C — i et 2COS* 5 A -— I , il viendra
sine cote — sina cotA = -v— r- (cos^iC — cos^iA)
sin c. cos' Y C sin fl. cos* \ A
sinyCcosyC siiiyAcos-j-A
= sinccot^^C — sinacot-^A.
Par conséquent l'on a aussi
sin (ûî — c) = (cote sine — cotA sina) tang-^B.
88. Si du point R de concours des arcs qui divisent également chacun des angles A ^ B , C , on abaisse des perpendiculaires sur les côtés opposés, ces perpendiculaires seront nécessairement égales comme dans le triangle rectiligne 9 et elles partageront aussi les trois côtés en six segments égaux entre eux deux à deux. Par exemple, les segments adjacents à l'angle A auront chacun pour valeur le demi-périmètre s du triangle, moins le côté opposé à cet angle. Ainsi, par la propriété du triangle sphérique rectangle, l'une des perpendiculaires dont il s'agit étant désignée par p , on aura (art. 60),
tang/7 = tangl A sin [s — d) = tang^B sin {s — b) = tang I G sin (^ — c ) ;
de là cette nouvelle relation , signalée par M. Molweide , savoir :
tangj A sin (5 — b)
taogjB sin(^ — a)'
(Voyez la CaKuuùssance des Tems pour l'année 1820 , page 346.) Il est évident que la distance a du point R à l'angle A sera donnée par
