LIVRE DEUXIÈME

la formule

tsLnefs — a)

tanga = — ^ \ , \

Quand on est parvenu à des formules nouvelles, il est utile de les vérifier par des exemples numériques : on pourra , pour cet effet , employer le triangle d'épreuve, dont Delambre a calculé toutes les pa:rties {Astron. , tome I, page 227), ou celui que nous avons donné (art. 158).

11 est remarquable que si les arcs Aa , Bb^Cc étaient chacun perpendiculaires aux côtés a, 6, c, ils se couperaient pareillement en uu même point R. Cette autre propriété n'est pas plus difficile à démontrer que la précédente, et elle résulte de ce que les cosinus des deux segments de la base , formés par la perpendiculaire , sont proportionnels aux cosinus des côtés adjacents.

89. Occupons-nous maintenant de la recherche de Taire d'un triangle sphérique , en fonction de trois des six parties dont il est composé. Or, on sait que l'aire d'un tel triangle a pour mesure l'excès de ses trois angles sur deux angles droits, c'est-à*dîre qu'elle est égale à autant de triangles trirectangles , ou de huitièmes de la surface de la sphère, qu'il existe d'angles droits dans l'excès dont il s'agit [Géométrie de Legendre, liv. VII, prop. aS). Soit, d'après cela, 2 l'aire cherchée , i^ le quadrant pris pour unité de mesure des angles, et A, B, C les trois angles d'un triangle sphérique ; on aura

2 = A-hB-hC — 2^ (i)

Mai^jO désignant le rayon de la sphère à laquelle le triangle appartient, et TT la demi-circonférence d'un cercle dont le rayon est pris pour unité, on a pour l'expression de l'aire de cette sphère, 4^P^j ^t pour celle T du triangle proposé , évaluée en mesures carrées ,

formule dans laquelle le facteur 2 doit être un nombre abstrait. Par exemple, si 2 était donné en degrés, il faudrait remplacer ce facteur

par — , parce qu'alors i'' = 90*^,

To8 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

On peut avoir 1 sous différentes formes. D'abord il est évident que

développant le second membre , il vient

sm -== — cos I ) cos - + sm ( l sm -y

et substituant pour sin (— ^ ) et cos ( j leurs valeurs en

fonction de a , 6, c , C (art. 64) , on trouve

"°l =-- ^^^iTc'^ [cosi{a-b)-cos\{a+b)]

asmlasixij^sinyGcosYG sin|flsip»s-^sinC ' ^ ^