LIVRE DEUXIEME

ou bien , à cause de cos C = i — asin* -^ C ,

2 COS-jC ^ ^

Cette formule 9 ou celle (3) , fera connaître l'aire d'un triangle sphérique , au moyen de trois côtés et d'un angle. Pour en avoir une qui ne dépende que de deux côtés et de l'angle compris j on divisera Tune par l'autre (3) et (5); en effet, on aura sur-le-champ

j „ sinyasin^^ésinG __ tang-atang^^sinC ^ ^v*

^^ COS7ACOS76 +sinyasinj^cosG i -h tangua tangl^ cos C^ ^ ^

expression encore toute rationnelle*

La valeur précédente de cos - peut se mettre sous une autre forme ,

ainsi qu'il suit.

De ce que

I « cos~{a — b) ^ûn-jaùajbmk^^^C

COS «■ Zê — ; ^— » 1 •

^ COS-jC COS7C

il en résulte, en éliminant sin^ \ C, que

1 y «»t(^ — ^) 8in(f— g)sin(j— ^),

^ COBjC acOSya COS7P COSy.c'

mais

sin {s — a) sin (j — 6) = ■|-[cos(6 — a)— cosc] ;

ainsi

j „ T^oosjacos-^bcosj {a — b) — \ccfi(a'^ b) -hy <5osc^

COS*? ^ — — ^— — — — ^— T—=r — I j

* aCOSyaCOSY^XOSyC

et comme cos (a— b)^=^ acos* i (^ — ^) — i y le numérateur du second membre de cette équation devient

[cos-|(a — A) ■+• cos|(a -h i)]cos-|(a — 6) — cos*-|-(a — 6)-h|cosc H-|,

et se réduit à

cos-|-(a+6)cos|-(a — 6) + yCosc+|= .

ijo TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

On a donc cette formule remarquable,

COS-^2— —, ; pr i

COS'YÛ'-|-COS*-i-^-hCOS*-î C — 1^ f W /

et en ia divisant par celle désignée précédemment par (3), il vient

. I -+- oosfl 4- cosft H-cosc

Cherchons maintenant, à l'exemple de Legendre {Géométrie, note X), l'expression du rapport -^. -t~—' Premièrement, par ce qui précède,

I COStI ^ . -, I — COS*T^ — C08*r^ — C08*-5-C-h2C08flieO«4"^CO»TC

— . ,^ = tang-l" 2 = ' / - — =J — ;

*iï^7 ^ K sin 5 sin (j — a) sin (5 — ^) sin (j — c)

en second lieu , le numérateur de cette expression étant le développement de la quantité

(i — cos*^fl)(i — cos^-^i) — (cos|acoS"|^6 — cos-jc)*,

il s'ensuit qu'il peut être remplacé par le produit

(sin^^asin^À + cos^acos^-^ — cos-l^ c) (sin-^asin-ji — cos^acos-I^ÔH- co8-|^ c) |'

ou par cet autre ,

[cos|(a — i) — cos^c] [cos^c — cos|^(aH-6)]

4smi^sm(^-^^ j sm^^-^-Y^j sui (^y

Mais en général ,

iJBJj^ I sin»|^ i/xtanffXa:-