LIVRE DEUXIEME. m

ainsi l'on a définitivement la formule suivante, due à LhnUier, de Genève :

tang|2 = y/ [tang '- tang (^) tang (i^^^^ tang (—J^ . (8)

Toutes les relations précédentes sont connues ; mais la route qui nous y a conduit nous paraît nouvelle et directe , et c'est ce qui nous a engagé à les reproduire ici.

90. Avant de terminer cette matière, appliquons d'abord la formule (6) à la recherche du maximum d'aire d'un triangle spbérique dont deux cotés sont constants; et dans ce but, égalons à zéro la différentielle du second membre de cette formule , afin de caractériser ce maximum ; il viendra sur-le^hamp

o 3s i •4<- cot\a cot-^ a cosC , ou bien

o = sin ^a sin ^è + cos^a cos^^i cos C.

Or, en mettant successivement pour cos C ses deux valeurs , i — asin^-|^C et acos^^C — i , on a

icos^a cos-|^i sin^^C = cos\{a — b) , acos^a cos-|^icos^yC = cos|^(a+/^);

et , divisant ces deux relations l'une par l'autre , il vient

tanff^^C- — ^-^^^^^

cosi(fl-H*)

Mais, par une formule de Néper,

cosKa — A).

tang^ (A + B) = - -^-^ . ^^i^jqrF) '

ainsi, définitivement,

tang|C = tang|(A +B) , et C=Ah-B.

Observons toutefois qu'on arrive au même résultat sans l'intervention du calcul différentiel 9 car en multipliant l'équation (3) précédente par la valeur de cos-|-(A + B — G) trouvée à l'art. 66 , on a cette expression nouvelle

sin| 2 = tangua tang| b cos^ (A + B — G) ,

laquelle montre évidemment que l'aire 2 est un maximum lorsque

Ainsi de tous les triangles sphériques formés avec ^ux côtés donnés et un troisième à volonté^ le plus grand est celui dans lequel V angle compris par les. deux côtés donnés, est égal à la somme des deux autres angles.

Cherchons pareillement l'aire maximum d'un triangle sphérique dont le périmètre est donné , et pour cet efiet ayons recours à la formule (8), dans laquelle le côté c = a^ — a — bj puis faisons tang| 1 = Uj pour abréger ; on aura

u == y/tSLag\s tangl (^ — a) tang|(j— 6) tang j (a -h b-^s).

et les équations relatives au maximum étant — = o, ^ = <>, on trouvera d'abord

du tangK* — ^) tangy(g4-)^ — s)

da cos»|{a-f-ô — s) cos*j(s — a) '

OU y en réduisant ,

j- = sin (j — rt) — sin {a + b ^s)= o; ensuite

^ = sin (j — 6) — sin (a + i — j) = o : ainsi

et par conséquent