LIVRE DEUXIÈME

D'ailleurs les coefficients difl-érentiels^, ^, g- ^**"t "^»''^'

ils indiquent que 2/ est un maximum. Donc, entre tous les triangles sphériques ou rectilignes de même périmètre ^ le triangle équilatéral est le plus grandi^).

On trouvera au livre VII de la Géométrie de Legendre , d'autres démonstrations de ces deux théorèmes, et les conséquences qui en découlent.

La formule (4) , qui donne Faire d'un triangle en fonction des trois côtés, procure une expression très-simple du rayon du petit cercle inscrit. En effet, p dénotant ce rayon, l'on a, par l'art. 88,

tangjQ = tang^ A sin (j — £i) ; partant,

tang*p = tang-|^ A tang^B tang^^C sin {s — a) sin [s — b) sin {s — c).

Substituant pour tang^A, tang^B, tang^C leurs valeurs (art.64), il vient, réduction faite, et après avoir extrait la racine cubique,

^sîn [s — a) sin [s — b) sin (5 — ^

^sinx

et enfin , à cause de la formule (4)9

2sin T 2 COS T fl COS T ^ cos 1 c

tanff û = ^ î 2-,

^ ' sin j

(* ) Au reste, la démonstration analytique de cette proposition relative au triangle rectiligne n'exige pas le secours du calcul différentiel, car, à cause de (j-a) -h (j - 6) -f- (5 - c) = j, il suffit de prouver que le produit des trois parties d'une quantité est plus petit que le cube du tiers de leur somme. Or si j:, a? -h ^, x -h ^ -+- ^' sont généralement, par ordre

de grandeur, ces trois parties, le tiers de leur somme sera x -\ — ; et si Ton développe les deux expressions

on reconnaîtra que le second résultat est plus grand que le premier.

ii4 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

expression qui rentre nécessairement dans celle relative au triangle recti ligne 9 lorsque les côtés du triangle sphérique sont infiniment petits. Quant au rayon R du cercle circonscrit (art. 65) , il est donné par cette équation

tangR = *"'6i''^.°gT^tangi.

et si l'on cherche ce qu'elle devient dans le cas du i*' théorème précédenty on trouve R=^c, à cause de tangua tang-|^6=—cosC=sia-|2: ainsi le centre du cercle circonscrit au triangle sphérique dont l'aire est un maximum ^ est au milieu du côté vaiîable *, et l'on conclut de cette propriété que

sin^^a + sin^^ô = sin^-^e.

On reconnaîtra avec non moins de facilité que le sinus de la plus courte distance du sommet de l'angle G au côté opposé ^^ oude la hauteur p du triangle ARC (art. 79) , a pour expression

sinp = v-j — — sm42,

2 étant toujours Taire de ce triangle.

Démontrons encore, par l'analyse trigonométrique , ce beau théorème dû à Lexell , savoir : que les sommets de tous les triangles spheriques de 'même base et de même surface se troussent sur un cercle unique.

Soient a, bj des trois côtés d'un de ces triangles, c la base commune et 2 sa surface ; prolongeons les arcs a , b vers le sommet de l'angle C qu'ils forment, de manière que chacun d'eux soit égal' à une demi-circonférence n : alors la plus courte distance de leurs nouvelles extrémités A', H', mesurée sur la sphère, sera égale au côté c ; et si nous faisons rt'=:7r~a,6' = 7r — 6, non-seulement le triangle a' b'c aura même sommet C que le triangle abc ; mais, d'après ce qui a été démontré (art. 66), le rayon R du cercle qui lui sera circonscrit sera donné par cette relation