LIVRE DEUXIEME

Or on a

cos a' = — cos a , cos &' = — cos b ,

s\n\a' = cos|a, sin|A' = cos|è;

par conséquent

tangR == ^ — ^ .

D'ailleurs 2 étant l'aire du triangle sphérique ABC dont les côtés sont abc , l'on a

sin-s-2 = 7 — i -—rj' — r~ '

2 qcosjacos^ocos-jc

multipliant ces deux équations membre à membre , il vient

Donc R est une quantité constante, donc enfin la circonférence qui passe par le sommet C et par les deux points A', B' diamétralement opposés aux extrémités A , B de la base commune, est, ainsi que M. Steiner l'a feit remarquer le premier, le lieu géométrique des sommets de tous les autres triangles équivalents. Cette démonstration, beaucoup plus courte que celle de Legendre , complète en même temps le théorème de Lexell renfermé dans l'èioncé précédent ; mais celle de M. Steiner, fondée sur des considérations purement géométriques , est d'une admirable simplicité. [Foxez le Mémoire de cet habile géomètre , inséré dans le Journal de Mathématiques pures et expliquées de M. Liouville,

tomeVI(i84i).]

Les auteurs de Traités de Trigonométrie sphérique à l'usage de l'Astronomie, donnent ordinairement une collection de formules différentielles trigonométriques , et même de formules aux différences finies : nous en démontrerons quelques-unes à mesure que le besoin s'en fera sentir; maison pourra consulter, pour plus de détails, le i" volume de Y astronomie de Delambre , ou la Trigonométrie de Cagnoli , 2* édition , traduite de l'italien par Chompré.

Voyons maintenant la résolution des triangles , par la voie des

séries.

ii6 TRAITE DE GEODESIE.