LIVRE DEUXIEME

cos X = cos Jtr, sin a: = sinor,

2cos*x = COS2JC+ I , asin^x = — cosajc-|- 1 ,

4cos' x = cos3x+3cosar, 4sin'x= — sinSor + Ssina:,

Scos^or = cos4j: + 4c<^saJC+ 3, 8sin* jc = cos4'3P — 4cos2j:+3.

Nous aurons aussi occasion de convertir en parties du quadrant , ou en grades 9 un arc donné en parties du rayon pris pour unité. Cette opération est fondée sur la considération suivante :

Si Ton suppose que le rayon soit développé sur la circonférence, il comprendra un nombre de parties du quadrant , que Ton obtiendra à Taide de la proportion

n désignant la demi-circonférence d'un cercle dont le rayon = i, Q le quadrant, et R un arc égal au rayon.

Dans la pratique, i^ dépend du système de division que l'on adopte; ainsi, dans l'hypothèse que i^ = 100 grades ou degrés décimaux, le rayon sera exprimé en centigrades ou minutes centésimales, par

dont le logarithme = 3.80388012297, àcausederr = 3,i4i59265359, et de 2"* = 20000 \

De même le rayon sera exprimé en déx^imilligrades ou secondes centésimales, par

dont le logarithme est 5 . 8o388oi . Nous employons l'accent grave pour désigner les minutes et secondes de degré décimal , afin qu'on ne puisse pas les confondre avec les minutes et secondes de degré sexagésimal. Ainsi, un arc quelconque, donné en parties du rayon considéré comme unité, sera exprimé en secondes, par exemple, en le multipliant par R" ; et un arc donné en secondes sera converti en parties du rayon , en le divisant par R".

ï i6 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

Si l'on employait l'oacienne division du cercle , on aurait , à cause de a^ = i8o X 36oo",

R" = ao6264%8, et log R'' = 5.3i4425i.

Il est remarquable que R^' = -: — i, , du moins à très-peu près. Pour

s'en convaincre 9 il suffit de remarquer qoe le sinus de \" ^ vu sa petitesse , pouvant être pris pour l'arc même , on a sensiblem^it

-y - = -^ ; mais '„ = R*' exactement ; donc

sin I arc 1 ' arc i

sin I

Nous ferons, par la suite ^ usage de l'une et de l'autre expression du rayon réduit en secondes.

RESOLUTION d'un triangle REGTILIGNE DONT DEUX COTÉS SONT DONNÉS

AVEC l'angle compris.

i*^. En supposofit cet angle très-obtus;

2*^. En supposant qu'un des côtés donnes soit très-petit à P égard de l'autre.

92. Soient a, ô les côtés connus, et C = a"^ — 6 l'angle compris, 0 étant très-petit.

La formule (A) de l'art. 47 donnera, en conservant la notation qui y est indiquée, et en faisant attention que le cosinus de C est négatif ,

c^ = a^ + b^ -j- lab cosô;

mais l'angle Q est si petit par hypothèse, que les tables desUinus qui ne renferment les logarithmes qu'avec sept décimales, ne donneraient pas le log cos Q avec assez de précision ; ainsi l'évaluation du terme %aJ) cos 6 ne serait pas assez exacte : à la vérité on pourrait , dans ce cas, recourir à la formule de la page 57, mais il vaut encore mieux procéder ainsi qu'il suit.