LIVRE DEUXIÈME

trique ; car en divisant le premier membre haut et bas par e on aura pour quotient

ou pour abréger ,

-Bv/-i

fi — y

et le second membre pourra s'écrire ainsi :

; — ^ / — ^ , — j ou, plus simplement,

L'équation (3) est donc de la forme

«— ' jg— y.

«4-1 i8-hy*

or , si dans cette dernière on chasse les dénominateurs , et que Ton réduise, on trouvera

et si l'on remplace a, ^, y par les valeurs que ces lettres représentent, on aura

aB*/— I a — be N a

OU prenant le logarithme népérien de chaque membre ,

aB 1/— I =tr logN — logD.

Maintenant, développant le second membre d'après la formule connue, log (i — or) = ^ — etc., on aura

a aa* 3fl^

puis divisant tout par 21 \/^ i y et réduisant au moyen de la formule

= sin. mC,

on aura enfin pour la valeur de l'angle B, exprimée en parties du rayon,

B = - sinCH : sin aC + -5-5 sin 3C

afl" 3a^

Cette série élégante, à laquelle Delambre est parvenu le premier, est évidemment d'autant plus convergente , que b est plus petit à l'égard de a : elle donnera B en secondes en multipliant tous ses termes par R".

Il suit de là que si l'on avait à résoudre l'équation tang x = —7- -j

et que \^ fut une très-petite fraction , comme ci-dessus , on aurait

jo = i' sinC sin aC H- ^ sin 3C —

Pour avoir le logarithme du côté c par une série qui procède suivant les cosinus des multiples de l'angle opposé, mettons au lieu de cosC sa

valeur ^ ; on aura

et par conséquent

Prenant le logarithme de chaque membre, et réduisant en série, il vient

alogc = 2loga--e ^ -— e ^ -j^e