LIVRE DEUXIÈME. ia
puis simplifiant à l'aide de la formule cos mC = — — ,
réduisant et changeant les logarithmes népériens en logarithmes vulgaires, on a
log c = loga — fJL- cos C — |U — ^ cos aC — jul ^3 cos 3C — . . . ,
|x désignant le module 0,434^94^- Cette série très-remarquable est due à Legendre.
ÉTANT CONNUS l' HYPOTÉNUSE D*UN TRIANGLE SPHÉRIQUE RECTANGLE , ET UN DES ANGLES OBLIQUES, TROUVER LA VALEUR DU COTÉ ADJACENT A CET ANGLE, EXPRIMÉE EN SÉRIE.
94. L'équation qui donne le côté de l'angle droit c en fonction de l'hypoténuse a et de l'angle compris B est, d'après l'art. 56,
tang c = tang a cos B ; on a donc
tang a — ^ tang c = tang a ( i — cos B) ,
tang a + tang c = tang a (i + cos B); or, si l'on divise les deux équations l'une par l'autre, il viendra
tang a — tang c i — cos B
tang a -h tang c i -h cos B '
ou
^^^i^-<^) tanc^lB-
sin(«-|-c) - ^"6 2^^
et si Ton change les sinus en exponentielles imaginaires , on aura
p= == = tang^ i B ;
Multipliant et divisant par e^** ^^^ ' , on trouve
= tangHB, •
ç-^-*-^..- <W^ ' ■ r <:^1K X^'-^éi
ia4 TRAITÉ DE GÉODÉSIE,
d'où
Mais
substituant cette valeur dans l'équation précédente ^ on tire enfin
Maintenant si, comme dans l'article précédent , on prend de part et d'autre les logarithmes népériens, et que l'on développe en vertu de
la formule log (i + z) = z 1 . . . . , il viendra
2(û — c)v/— i==tang»|Be''«V'-"~-;tong4|Btf4«V^+|tang«|Be6*v'^—
— tang»i.B^-W^ -h i.taiigHBéf-4«v/=^— 1 tang« | Be -6«v^i^..^
et enfin
a — c=r tang'jBsins^ — jtang*fB8in4«-4-Ttaiig^YBsin6fl! —
Cette série y que Lagrange a publiée pour la première fois dans les Mémoires de VAcadénUe de Berlin ^ année 1776, se déduit aisément de celle de l'article précédent, comme on peut s'en assurer; elle n'est qu'un cas particulier d'une autre plus générale, que Legendre a donnée dans ses Exercices de Calcul intégral^ lorsqu'il s'est proposé de développer en séries convergentes l'arc dont la tangente est donnée par une fonction rationnelle des sinus et cosinus d'un autre arc indéfini {voyez cinquième partie, page 238).
95. Soit généralement tang c = d tang a] on aura, d'après ce qui précède ,
sin aa « i (î^)' ^'"^ ^"^
Si l'on voulait avoir a — c en fonction de c , on tirerait d'abord de
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l'équation hypothétique , tanga = ^ tang c, ou, pour abréger, . . . tang a = $' tang c; ainsi, en vertu de la série précédente, on aurait
^8»,c-i(^ sin4c + i(^ sm6c,
OU
-«= ^«™=»^-i(J-TrTy»i°4c + 4(?^y sin6c;
ou bien, en changeant les signes,
a-c=(l^)9inac+i(;-^y8in4c + i(}^ysin6c.
Ces séries ne peuvent être utiles dans la pratique, qu'autant qu'elles
convergent rapidement j ce qui exige que r soit une fraction plus
petite que l'unité.
RESOLUTION d'un TRIANGLE SPH^RIQUE DONT DEUX COTÉS SONT PEU
