DIFFÉRENTS DU QUADRANT

96. Soient aetb les deux côtés donnés , supposés très-peu différents du quart de la circonférence ; on propose de trouver C en fonction des trois côtés a 9 è, c.

Par hypothèse ,

a=-r ^ OL

et comme a et |3 sont très-petits , l'angle C a pour mesure un arc trèspeu différent de c. Soit alors

on aura

C = c-l- jc;

sin^C = sin-|^ (c H- or) = sin|c + {x cos^c,

puisque x est fort petit ; et par suite ,

sin^lC = svû?\C'\' X sin^c cos^c.

ia6 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

L'équation exacte

Sin -s- Vu ;; ; — ; y

' smasmo

obtenue dans Fart. 64, résout la question proposée; mais vu qu'il serait pénible d'avoir C avec une grande exactitude, il vaut mieux calculer le petit excès x de l'angle C sur c. Pour cet effet , l'on mettra dans l'équation précédente pour ^ , ô et sin^^C leurs valeurs actuelles, et l'on aura

sm^^c +ocsm\c cos-^-c = *-^ ^ ^ :

2 ' 2 2 COSaCOSp

puis prenant la valeur de a: sin^^c.cos^c, il viendra

^ ^ cosa cosp '

mais

cosacoëP5=|cos(a*4-j3)4--|cos(a— j3) = cos*-|(a— P)— sinH(a+i3)> puisqu'en général cos^ = i — asin* | p = acos^ ijP "" ' 5

donc

^ 8inH(a-|-p)taDgic~8in4(«-p)cot|c^ , .

cosa cosp ' ^ '

Telle est la formule à laquelle Delambre est parvenu par une voie différente: en prenant les petits arcs pour les sinus, elle rentre dans celle que Legendre a donnée; c'est-à-dire que l'on a, d'après cette hypothèse ,

a: = |(â 4- /3)» tangue «|(a - ^y cotic. (a)

2* Solution, On parvient plus simplement à cette formule ainsi qu'il suit. D'abord, à cause de

^ cos c — ces a cos b

COSC = ; r— r ,

suuisin^ '