LIVRE DEUXIÈME. lag
Renversant ces valeurs , et développant , il viendra
^ tangic
,«^ [.oo. - (»-±«)] ^ ^«-8H,
tongjc
""8 [.oo. - (Î=S)] = ^ ^„gH.
tangl^
Ces deux équations étant de la forme de celle de l'art. 95 , on aura , en réduisaiXt en séries par la méthode de cet article ,
\ 2 / 2 I tangfô *tang*^^
d'où l'on tire, par addition et soustraction ,
aoo*'— B=A— [tang -^ft — cot ^b] tangue sin A
+ j [tang* I ft + co t* I i] tang^ \ c sin a A — ^[tang* |6 — co\^\h\ tang* |c sin 3A + . . . et
C=[tang^ft + cot|ft]tang|csinA— ^[tang^^ô— cot^^ft]tang^|csinaA
+ ^ [tang' I A + cot' ^ ft] tang* -|-c sin 3 A — . ..
Ces deux séries régulières, dont la loi estévidente^sontduesàLagrange: elles convergent d'autant plus rapidement, que c est plus petit par rapport aux deux autres côtés.
98. Il reste, pour compléter la solution du problème dont il s'agit, à trouver le côté a en fonction des mêmes données 6, c, A. Or, de l'é-
i3o TRAITÉ DE GÉODÉSIE,
quation
cosa = cosb cosc + sinft sinccos A
on déduit aisément celles-ci :
sin^ |ii=sin*-^ftcos^ ^c+cos^|6sin*^<?— 2sin|ftcos^co&^ftsin|ccosA, cos' -|tf = cos* I ft cos^-|^ c+sin^-^ô sin*^ c+ acos^è cos ^ c sin ^ftsin -| c cos A ;
d'où Ton voit que sin | n peut être considéré comme le troisième côté d'un triangle rectiligne dont on connaît les deux côtés sin -l-^cos^c, cos^l^isin-^c, et l'angle A compris. Appliquant donc la méthode de l'art. 95, on a^ en logarithmes vulgaires ,
logsinia = log(siniftcos|c)-,x ^|i^ cosA- /x^^^ cosaA-.., et
logcosia=log(cos.iftcosic) + fx ^^ cos A - fx ^^ cosaA-h...,
/x étant le module o>434^945; par conséquent en soustrayant, l'on a, en logarithmes népériens,
log. tangl^ = log. tang^ i — tangue [tang | ft -4- cot| b] cos A
4- 1 tang* -i^c [tang^ i ^ — ^oi^ \ b] cos a A — |tang'-jc[tang*|ô+ cot* -j ft] cos 3A + . . .
Cette série et les précédentes n'étant pas sous une forme qui permette d'évaluer facilement les quantités qu'elles représentent , lorsqu'un des côtés connus est très-petit par rapport à l'autre, il est nécessaire d'en obtenir d'autres qui soient développées suivant les puissances ascendantes de ce côté; et c'est à quoi l'on parvient par la voie élémentaire suivante.
99. a"" Solution. Dans le triangle sphérique A, B, C on a (i) cos a = cos b cos c + smb sin c cos A ,
T^ sin A
y^l o cot^sinc — cosccosA'
W S cot^sin^ — cosftcosA*
