PAR RAPPORT AU RATON DE LA SPHÈRE

100. La résolution des triangles sphériques très-peu courbes, se ramène immédiatement à celle des triangles rectilignes, au moyen d'un théorème très-remarquable dû à Legendre , et qui est de la plus grande utilité dans les opérations géodésiques. En voici l'énoncé et la démonstration.

Le triangle sphérique très-peu courbe ^ dont les angles sont A, B, C, et les côtés opposés a, b, c, répond toujours à un triangle rectiligne qui a les côtés de même longueur, et dont hs angles sont A— ^e, B — ^£, C — ^ 6 , g étant l'excès de la soilime des angles du triangle sphérique proposé sur deux angles droits.

Puisque a^b^c sont les côtés d'un triangle sphérique construit sur une sphère dont nous désignerons le rayon par r; un triangle semblable,

tracé sur la sphère dont le rayon = i , aura pour côtés-, -> ~; et par

i34 TRAITÉ DE GÉODÉSIE,

l'art. 04,

ooê - — cos - cos -

COsA== r ^"

Mais, pour abréger, nous représenterons respectivement -, -, - para, j3, y^ et nous aurons

. COSa — COS/8COS7

sin/S 8107

r étant fort grand par rapport aux côtés a^ bj c^ il s'ensuit , sans erreur sensible, que

il en sera de même des valeurs de cosjS, cos}' et sin y. De là l'équation précédente deviendra

Transportant au numérateur le facteur (i — i i3^ — | >*) élevé à la puissance — I , développant jusqu'aux quantités du quatrième ordre inclusivement, et réduisant, on aura

i8» -h 7» — a* a< -f- /8* + 7^ — 2a*/8» — 2**7» -- ag»7*

remettant les valeurs de a, jS, >, le second membre sera toujours composé de la même combinaison de lettres , et pourra être représenté par

cosA=— -h— ^^ {\\

ihc • 2 Éficià ' ^ '

Soit maintenant A' l'angle opposé au côté a, dans le triangle rectiligne dont les côtés seraient égaux en longueur aux arcs a , 6 , c ; on aura

ibc nbc