LIVRE DEUXIÈME. i

élevant les deux membres au carré , et mettant i — sin^ A' au lieu*de cos* A', il viendra

~ 4 fc* c' 8in* A' = a* -h ft* + c* - la^V — la^c^ - aiV^ = N.

L'équation (i) sera donc ramenée à la forme

cos A = cos A' — .^ sin* A'.

Soit A = A' + ^; on aura, esa rejetant la seconde puissance de j? ,

cos A = cos A' — X sin A'; d*oii Ton tire y après la substitution de la valeur de cos A ,

X = g-; sm A'.

Nous voyons par là que x est du second ordre par rapport à - et - ;

ainsi ce résultat est exact, aux quantités près du quatrième ordre. Donc , à cause de A = A'+ j?,

A = A'+g^sinA';

mais ^ hc sm A' est visiblement l'aire du triangle rectiligne dont a, hr^ c sont les côtés, laquelle ne di£fère pas sensiblement de celle du triangle sphérique proposé; donc si l'une ou l'autre aire est appelée ^, on aura

et semblablement ,

d'où il résulte que

i36 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

On peut donc considérer — comme étant l'excès de la somme des trois

angles du triangle sphérique proposé sur deux angles droits , et Ton doit remarquer que dans tout ce calcul , les angles des deux triangles sont censés mesurés par des arcs de cercle dont le rayon est T unité. Telle est la démonstration donnée par Lagrange y dans son excellent Mémoire sur la Trigonométrie sphérique (6* cahier du Journal de l'École Polytechnique) j et que Legendre a adoptée dans sa Trigonométrie. M. Gauss en a imaginé une autre fort élémentaire, que M. Liouville a publiée dans son Journal de Mathématiques pures et appliquées (tome VI, cahier de Juillet i84i).

U excès sphérique e = — , qui est proportionnel à l'aire du triangle,

peut toujours se calculer à priori, et cela en considérant le triangle sphérique proposé comme rectiligne. Si donc deux côtés bj cet l'angle compris A sont donnés, on aura l'aire ^ = i^ 6c sin A. Si au contraire on connaît un côté a et les deux angles adjacents B, G, on aura l'aire

s =:i\a^ "wbICTT' ^^^^^^^^ nous l'avons démontré (art. 53).

La remarque de l'art. 91 est encore applicable dans cette circonstance, où il s'agit d'avoir V excès sphérique t en secondes; ainsi,

La valeur de e étant toujours d'un petit nombre de secondes, il s'ensuit que celle de l'aire du triangle n'a pas besoin d'être déterminée avec une grande précision. Mais veut-on savoir ce qu'on néglige en calculant s par le procédé qu'on vient d'indiquer? on n'aura qu'à développer en série l'expression

tang^^ = ^°6i^^°gT^siDC

démontrée à l'art. 89, et l'on trouvera, par la méthode de l'art. 93,

y^ = tang^atangl^ftsinG — |-tang^^a tang^ {b&m a G

\ tang ^\a tang '-J- b sin 3G — etc. ;