CHAPITRE PREMIER

Pour trouver la distance d'un point (^, j^') à l'origine, on n'a qu'à faire af ^o,y" z=o dans l'équation précédente, et on trouve ainsi

5. Nous aurons rarement occasion dans la suite de nous servir des coordonnées obliques, parce que les formules sont en général beaucoup plus simples avec les coordonnées rectangulaires : néanmoins, comme il y a quelquefois avantage à employer les coordonnées obliques, nous donnerons les formules principales dans leur forme la plus complète.

Si nous supposons que l'angle YOX soit quelconque [Jig. 3 ) et égal à (ù^ nous aurons

PSQ = i8o" — w, et

PQ' =: Ps' -f SQ'- 2PS.SQ cosfsQ, ou

PQ'= (/ -/')» -h (X' - X"Y + 2 (/ — /') (X' - X") C0S6).

La distance d'un point (:r', ^'') à l'origine s'obtient en faisant j7'^r= o,j" = o dans l'équation précédente; ce qui donne

o^=zx'^-\-y'* -h ^x' y' cosw.

En appliquant ces formules, il faut faire attention aux signes des coordonnées. Ainsi, par exemple, si le point Q se trouvait dans l'angle XOY', le signe de/" serait changé, et la ligne PS serait la somme et non la différence de/' et y''. Du reste, le lecteur n'éprouvera aucune difficulté en écrivant les coordonnées avec leurs signes, et en ayant soin de prendre pour PS et QS la différence algébrique des coordonnées correspondantes.

EXERQCES.

I. Trouver les longueurs des côtés du triangle dont les sommets ont pour coordonnées j:' = a, /' == 3 ; x* = 4, /' = — 5 ; x*" = — 3, /"' = - 6 (axes rectangulaires).

RépONSB. v^i V^) v^ioG.

n. Ménoes données, les axes faisant un angle de 60 degrés.

RépONSB. /Sa» V^> /*5i .

ni. Exprimer que la dislance du point [x, y) au point (a, 3) est égale à 4-

RÉPONSE. (x — 2)*-h (jr — 3)*= l6.

IV. Exprimer que le point (x, jr) est également distant des points (2, 3),

RiPONSB.

(x-îà)'-h(j-3)> = (x-4)'-K(r-5)' ou ar+7 = 7.

y. Trouver le point qui est à égale dislance des points (a, 3), (4, 5), (6, 1). On pose deux équations qui servent à déterminer les inconnues j et r.

RÉPONSE. x=-5-» J = ôi

la distance de oe point à chacun des trois autres est égale à ^^*

6. La distance de deux points, étant exprimée par une racine carrée, peut recevoir le double signe; de plus, si la distance PQ, mesurée dans le sens PQ, reçoit le signe +, la distance QP, mesurée dansle sens contraire QP, reçoit le signe — . Lorsqu'il s'agit simplement de la distance entre deux points, le signe n'est susceptible d'aucune interprétation, puisqu'il ne sert qu'à indiquer si cette distance doit s'ajouter à une autre dislance, ou s'en retrancher; mais il n'en est pas de même lorsqu'il y a plusieurs distances à considérer. Si, par exemple, on se donne trois points en ligne droite P, Q, R, et les deux distances PQ, QR, on aura PR=:PQ-hQR; et, d'après ce qui a été dit plus haut, celte équation sera toujours vraie, que le point R soit ou non entre P et Q. Car s'il est en dehors de P et Q, PQ et QR se trouvent mesurées en sens contraire, et leur difTérence arithmétique est encore égale à leur somme algébrique.

Hors le cas où les droites sont parallèles à l'un des axes, on n'a établi aucune convention sur la direction qui doit être regardée comme positive.