CHAPITRE PREMIER
§ L — Préliminaiiies.
1. La méthode que nous allons exposer, pour déterminer la position d'un point sur un plan, est due à Descartes, qui l'a indiquée dans sa Géométrie en 1637 • «l^e a été généralement 5ui?ie par les géomètres qui lui ont succédé.
Par le point P [fig. i), menons PM et PN parallèlement aux
Fig. I.
droites Oxes XX', YY' qui se coupent en 0 et sont données de position : il est évident que, connaissant la position du point P, nous pourrons en déduire les longueurs des parallèles PM et PN; et que réciproquement, connaissant ces longueurs, nous pourrons déterminer la position du point P.
Si, par exemple, on a PN=a, PM = 6, il suffira de prendre OM == a, 0N = 6, et les droites MP et NP menées parallèlement à YY', XX' se couperont au point cherché P.
Z CHAPITBB FRKIIIEB.
On représente babituellemeni par la lettre j la parallèle PM à OY, et par la lettre x la parallèle PN à OX. On dit alors que le point P est déterminé par les deux équations x:=a,y^:^b.
3. Les parallèles PM et PN s'appellent les coordonnées du point P; PMest Vordonnéeàe ce point, et PN, qui est égale au segment OM de OX déterminé par l'ordonnée, se nomme l'abtclsse.
Les droites fixes XX' et YY' sont les axes de coordonnées, et le point 0, ou elles se coupent, est Vorigine. Les axes sont dits rectangulaires ou obliques suivant que l'angle qu'ils comprennent est droit ou non.
Il est facile de voir que les coordonnées du point M [fig- 1 ) soiU;c = a,^:=:o; celles du point N, ;c = o,^ = tj et celles de l'origine x = 0, x=o,
3. Pour que les équations x = a, j"=^ft ne représentent qu'un seul point, il faut tenir rompte, non-seulement de la grandeur, mais encore du signe des coordonnées.
Car en prenant [fig. 2) OM = a, et ON = b, d'un côté ou de l'autre de l'origine, on obtient quatre points P, P,, P„ Pi dont les coordonnées satisfont aux équations x = a, y=^ b. Mais nous pouvons établir une distinction algébrique entre les lignes OM et OM' (qui sont de longueur égale et de direction opposée}, en admettant, comme règle, que si des longueurs mesurées dans une diiection sont regardées comme positives. les lignes mesurées dans une direction opposée seront considérées comme négatives. Le sens positif est en soi arbitraire, mais il est d'usage de regarder la longueur OM [mesurée en
allant de gauche à droite) et la longueur ON (mesurée de bas en haut) comnie positives.
En parlant de ces conventions, on distinguera facilement les quatre points P, P., Pa, Pg. Les coordonnées de ces points seront respectivenfient
jc=-|-a, jr = — b; x =: — a, j^= — b.
Ces distinctions de signe ne sauraient présenter aucune difficulté au lecteur familiarisé avec les principes de la trigonométrie.
Remarque. — On désigne souvent, pour abréger, par point [a, 6], point {x', x') les points qui ont pour coordonnées x=^a, y=^b ou x=ix'y y=iy'.
11 résulte de ce que nous avons dit plus haut, que les points {-ha, -h b) et ( — a, — h) se trouvent sur une même droite passant par Torigine, sont également distants de l'origine et soolsitués dans des régions opposées par rapport à cette origine.
4. Trouver l'expression de la distance i des deux points [x^^ y'')^ (x^f X")y ^^ coordonnées étant rectangulaires.
Fig. 3.
fA
'Vr
On a évidemment pour la distance PQ ijig*^) des deux points P et Q dont les ordonnées sont PM et QM', QS étant parallèle à OX,
PQ'=PsVqs'; d*ailleurs
PS =:PM — QM'=^ -J^
QS = OM - OM' =: a/ - ar"; par suite
a» = pq'= (^r' ^x^y-hir' —y"?-
