S — S' = EF

réqualion de la conique cherchée sera

|UL»E^- 2a(S-t-S')-+-F'— o,

puisqu'elle peut se mettre sous l'une des deux formes

{IJ.E 4- F)'= 4aS, ( uE — F)'= 4aS'. Comme p entre au second degré, on peut mener deux coni-

ques en prenant pour auxiliaires les deux cordes d'intersection E, F; et, puisqu'il y a trois couples de cordes, on peut former trois systèmes de deux coniques ayant un double contact avec deux coniques données. Lorsque S' se transforme en deux droites, il n*y a plus que deux couples de cordes distinctes, et, par suiie, deux systèmes de coniques à double contact; quand Sel S' se transforment toutes deux en droites, il n'y a plus qu'un seul système.

EXERCICE

Trouver IVquation d'une conique tangente ù qiialro droites donni»es.

Soient A, B, C, D les quatre côtés du quadrilatère formé par les droilos.

E, F les diagonales, AC — BD = EF ; on aura pour la conique cherchée

^='E=- :irx(AC VBD)-t-F'^o.

Si l'on représente par L, M et N les diagonales, les côtés le seront par L zb M ±: N, et réquation de la conique prend la lorme plus symétrique

qui montre que cette conique est tangente à

r^(L-hM-+- N)(xM-f-N — L)(L-h N -M)(M-f- L-N). On pourrait encore mettre celte dernière équation «ous lit forme

COS^a> Sm'''f ^

288. La conique ayant un double conlaci avec deux cercles C et C a pour équation

Les cordes de contact de la conique avec les cercles

C — C -h [J. =^ Of C — C — a r=: o,

sont parallèles et situées à égale distance de Taxe radical des deux cercles.

En mettant Téquation de la conique sous la forme

366 CHAPITRE XIY.

on voit que * Le lieu (Vun point tel que la somme {ou la différence) df*s tangentes menées de ce point à deux cercles soit constante, est une conique ay\tnt un double contact avec les deux cercles.

En supposant les deux cercles infiniment petils, on déduit de là la propriété fondamentale des foyers d'une conique.

Lorsqu'on prend /x égal au carré du segment déterminé par les cercles sur une de leurs tangentes communes, l'équation représente deux de ces langentes communes.

EXERCICES

L Trouver, d'après ce qui précède, les tangentes communes aux cercles indi(|ués aux Exercices des n*" 413 «et H4.

RÉPONSE

II. On donne trois cercles C, C et C" : L et L' sont les tangentes communes à C, C"; M et M' à C", C; N et N' à C, C; si L, M et N passent par un même point, L', M' et N' passent aussi par un môme point (*).

Soient

les équations des couples de tangentes communes. La condition pour que L, M et N passent par un même point est ^' =t / = /"; lorsqu'elle est remplie, L', M' et N' passent aussi par un même point.

IIÏ. Les trois cordes communes, non concourantes, de trois coniques ayant un double contact avec une quatrième conique déterminent sur les

(*) Ce procédé a éto employ*? par M. Steiner jioiir la sotiition du problème de Malfatti : Inscrîrtf dans un trîanglefrois cercles tangents entre eu.r^ et successivement à d< ux des cotés de ce triangle^ solution qu'il formule de la manière suivante : inscrire un cercle dans chacun des trian^jles formes par un côté, et les bissectrices des un(^,les adjacents du frianjrjc donné; trois des tan[jcnte8 communes à ces cercles se coupant en un même point, il en est de même des trois autres qui sont communes aux cercles cherchés. M. Hart a donné une démonstration géométrique de celte solution dans'le Quarter/r Journal of MathematicSy t. I, p. 219. Cette solution peut s'étendre au cas où l'on remplace les cercles par des coniques ayant an double contact avec une conique donnée.

trois première^ six points qui appartiennent à une conique. Dans le cas

particulier où trois de ces points sont en li^ne droite, il en est de même

des trois autres.

Soient

les trois coniques , les cordes communes sont représentées par