L-hM, M-hN, N-hL, et Téquation
S -H MN -h NL -^ LM =- iS — L'M -H (L -K M) ( L -^ Nj di'monlre le théorème.
§ V. — Equation générale du second dkgré.
289. Il est toujours possible de représenter une conique par une équation de la forme
fla*4- 6pM- cy^-4- 2/j3y -f- a^ya -h 2/ia|3 nr o.
En effet, celte équation est du second degré, et renferme cinq paraptètres arbitraires, qu'on peut déterminer de manière que la courbe qu*elle définit passe par cinq points donnés, et coïncide, par suite, avec une conique donnée. Cette équation suppose les coordonnées trilinéaires; mais on en déduit facilement l'équation en coordonnées cartésiennes en y remplaçant a, (3 par^, j, et en y faisant y ==1, ce qui revient à supposer la droite y à Tinfini (69-76, Note).
On. peut toujours de même représenter une courbe de degré n par une fonction homogène du même degré en a, ô et y, car il est facile de voir que l'équation complète de degré n entre deux variables, et l'équation homogène de même degré entre trois variables ont le même nombre de termes, et peuvent, par suite, être assujetties au même nombre de conditions.
290. Les coordonnées d'un point pris sur la droite qui joint les deux poinis(a', (3', y'), (a", (3", y*') pouvanl(66) s'exprimer par
la!-^ma\ /(3'-+-/n(3^ /y'-+-my",
368 CHAPITRE XIY.
on obtiendra les coordonnées des points où celieT droite rencontre une courbe, en substituant ces valeurs aux coordonnées courantes a, p et y dans Téquation de la courbe, et en
déterminant le rapport — au moyen de la relation déduite de
cette subf^titution (*). Ainsi (92), les points où cette droiio rencontre une conique sont donnés par
l'iax'^ -V- />(3'^-h cy''-h a/P'/ 4- 2g^/a'-h 2Aa'P' ) -4- ?./m[rza'a"-4- 6(3' .3" 4- 6- //'-+-/( (3' y'' 4- Ô"/)
équation du second degré que nous pouvons écrire, pour
abréger,
/2S'4-2/mP4-m'S"r:=o.
Lorsque le point (a', (3, y') est sur la courbe, on a S'= o, et l'équation se réduit au premier degré. £n la résolvant par rapport à /: m, on trouve
S'^a'-2Pa", S"(3'-2PP", S"y'- aPy'^
pour les coordonnées de l'intersection de la conique avec la droite qui joint [ot!\ p", y") au point (a', P', y') pris sur celte conique. Elles se réduisent à a', |3', y' quand P = o. Lors donc que a", j3" et y" satisfont à la relation
^aa'4- 6;3(3'-h cy/ 4-/(i3y'4- (3'y)
cette droite rencontre la courbe en deux points qui coïncident en («', (3', y'); autrement dit le point (a", |3", y") est situé sur la tangente en («', (3', y'), quia pour équation P:=o.
291. La symétrie de cette équation en a, p, y; «', (3', y' montre (89) que, dans le cas où («', P', y') ne se trouve pas sur la courbe, elle représente la polaire de ce point. On peut
(*) CeUe in(4hode est due à Joachimsth.il.
DBS SECTIONS GOIfIQtBS. NOTATIONS ADBÉGÉBS. 36g
aussi observer (91) que P = o exprime que la droite joignant (a', P', /) à (a", (3'^, y") est divisée harmoniquement par la courbe.
L'équation de la polaire peut aussi s*écrire :
les facteurs de a\ |3', / sont respectivement proportionnels aux coefficients différentiels de Téquation de la conique pris successivement par rapport à a, (3, y. Si Ton pose, pour abréger,
dS da'
-dy
on a
pour
la
polaire
Lorsque*^' et y' sont nuls, cette équation se réduit à S, = o. Donc la polaire de V intersection de deux des lignes de référence a pour équation la dérivée de l'équation de la conique^ prise par rapport à la troisième.
L*équation de la polaire étant symétrique en a, p, y et a.', P', y' peut aussi se mettre sous la forme
«s; +psr,-4-yS'3 = o
(S', désignant, suivant l'usage, ce que devient Si lorsqu'on y remplace a, p, y par a', |3', y').
292. Lorsqu'une conique se réduit à deux droites, la polaire d'un point quelconque passe par l'intersection de ces droites : et il est facile de voir géométriquement que cette polaire forme avec les deux droites et la ligne qui joint le point donné à leur intersection un faisceau harmonique. En effet, le rayon vecteur mené par le point est divisé harmoniquement par la conique, c'est-à-dire les deux droites, et la polaire. On peut aussi le voir en partant des formules du numéro précédent : la polaire de (a', (3' ) par rapport aux deux droites a et ^ ayant pour équation (3'a-f-a'p=:o a pour conjuguée harmonique p'a — a' (3, c'est-à-dire la droite qui joint («', (3') à ( a, P).
370 GHàPITBE xiv.
Lorsque l'équation générale représente deux droites, les polaires des trois points ( p, y ), ( y , a ). ( a, (3 ),
aa -<- A(3 H-g^y = 0, Aa -f-6j3 -f-/y = o, g^a -l-yp -f- cy ==0,
passent par un même point. Si Ton élimine a, (3 et y entre ces trois équations pour exprimer (n** 38) que ces droites sont concourantes, on trouve la condition pour que l'équation générale représente deux droites. Cette condition, à laquelle nous sommes déjà arrivés par d'autres méthodes, peut s'écrire sous forme de déterminant :
i ^ / ^ ou, en développant,
abc -t- 'i'fgh — af^ — frg-' — ch'^ = o.
Nous désignerons dorénavant par A le premier membre de cette équation, qu'on appelle le discriminant (*) de l'équation de la conique.
293. Trouver les coordonnées od, (3', y du pôle d'une droite >.a -f- ap -+- vy par rapport à la conique représentée par l'éq nation générale.
On a, en se reportant au n*" 291, les équations
aa'-h/i(3'-f-g^y'==>., A a' -+- 6 (3' 4-/y' = /jl, g^a' -h/(3'-hcy'rr: v.
(*) En général, on nomme discriminant d'une fonction homogène de plusieurs variables le premier membre de l'équation qui résulte de l'élimination de ces variables entre les équations que l'on obtient en égalant à zéro les dérivées du premier ordre de la fonction proposée, prises successivement par rapport à chacune de ces variables. Ainsi, par exemple, la condition pour qu'une équation algébrique S(x) ait des racines égales, est le discriminant de cette équation. Car, après avoir rendu cette équation homogène, par l'introduction d'une deuiième variable^, cette condition s'obtient en éliminant x
etj- antre -j-=oet-7-=o. ( f^oir les Leçons d'Algèbre supérieure , par
G. Salmon; huitième leçon de la traduction française. Paris; libraire Gauthier- ViHars.)
DES SECTIONS CONIQUES. NOTATIONS ABRÉGÉES. 3'J l
-qui, résolues par rapport à a', |3', y', dionnent
£ioc' = Mbc^f^)-hlJi{fg^ch)-^^Afif-bg), ^^' = Mfg- cfi)^ y.{ca - g^) -^v[gli - «/), ^Y :=z\(hf— bg) -h p.(^A — af) -^viab-^ li^ ).
Si l'on emploie les lellres A , B, C . . . ( * ) dans le sens indiqué au n" 151, on voit que les coordonnées du pôle sont respectivemenl proportionnelles aux quantités
AX-hH/jL-hGv, HXH-B|:/-hFv, GX -h F|ui -h Cv.
Le pôle de la tangente à une conique étant un point de cette tangente, on trouvera la condition pour que la droite ^a -h /jip -4- vy soit tangente à la conique, en exprimant que les coordonnées qu'on vient d'obtenir satisfont à la relation
Xa -h |:z(3 H- vy -•- o.
On trouve ainsi, comme au n*" 285,
AX^ -f- B/:/.' -h Cv' -h ^Yiiv -h 2 GvX 4- 2HXp. = o.
En écrivant cette équation sous la forme 2 = o, on voit que les coordonnées du pôle sont les dérivées 2„ 2,, 2j de 2 prises successivement par rapport à X, [t. et y. Ainsi, de même que la polaire d'un point a pour équation
«s; -hps;+yS'3 = o,
de même la condition pour que la droite Xa + /j^p -h vy passe par le pôle de X'a -+- jut'p 4- v'y (ou, en d'autres termes, l'équation tangentielle de ce pôle) peut s'écrire
X2', H- /zZ'j -I- v2', =r o;
par suite, la condition pour que deux droites Xa -f- |!z(3 -h vy, X'a -f- /x'P + v'y soient conjuguées par rapporta la conique, c'est-à-dire que le pôle de l'une se trouve sur l'autre, peut
(*) A, B, C, ... sont les déterminants mineurs du déterminant indiqué au «o 292.
372 €flAPITRB XIT.
évidemment se meure sous Tune ou Faulre des formes équivale nies :
D'ailleurs (d'après la manière dont on est arrivé à sa valeur) 2 est le résultai de l'élimination de a', (3', y' et p entre les équations
aa' -h Ap' -h g"/ -h pX = o, hcxl -f- 6p' H-/y' -4- p|ut m o, gra' H-/(3'-l- c/ -hpv=: o, Xa' 4- |ul (3'- -h v / = o.
et peut être représenté par le déterminant:
