X LL V O

EXERCICES

I. Trouver les coordonnées du pôle de Xa -h pip -h V7 par rapport »

L'équation tangenlielle étant (130) •

/|XV -h wivX -h w).Lt = o,

les coordonnées du pôle sont

II. Trouver le lieu du pôle de Xa -h |xp -+- vy par rapport à une coniquedéfinie par trois tangentes a, p, 7 et une autre condition (*].

En résolvant les équations précédentes en /, m et /;, on trouve qne le8 valeurs de ces quantités sont respectivement proportionnelles à

X(f*P'-+-V7'-Xa'), f*(vy-hXa'— fxp'), v(Xa'4- fxp'- v/).

Si Ton combine Féquation ^Tâ h- ^liïp -h y^ = o, qui représente une conique tangente aux trois droites a, ^ et 7, avec la quatrième conditioii, on peut établir une relation entre /, m et n^ et en déduire Téquation du lieu cherché, en y remplaçant /, m et n par leurs valeurs obtenues plus haut..

( * ) Gfl genre de solwtioii est empronté à M. Hbarn : Researches en Conic Sections,

DES SECTIONS CONIQUES. NOTATIONS ABRfiGÊES. S']3

Dans le cas parliculier où X, p et v représenlent les côlés n, b ei c é\ï triangle de référence, on obtient ainsi le lieu du pôle de la droite située à rinfini aa-^ bp -h cy, c'est-à-dire le lieu du centre de la conique.

Si Ton se donne comme quatrième condition d'avoir une conique tangente à la droite Aa -h Bj5 -h C7, c'est-à-dire

la conique étant alors tangente aux quatre droites a, p, 7, Aa -h Bf -h C7 , \e lieu du pôle de ax h- u|5 -1- 77 est la droite

X ( jxp -h V7 — Xx ) pi ( V7 -h ).a — pP) V ()a -h ixÔ — V7 )

Si ta conique est assujettie, comme quatrième condition, à passer par le point (a', p'\ 7'), on doit satisfaire à la relation

V^/a' -f- ^//ip' 1- v^''7' " o>

-et le lieu du pôle de la droite >.a -h ^ip -h vy par rapport à la conique tangente à a, j3, 7 et passant par (x', fi', 7') est

^Àx'(/xf) -t- vy — Ax ) -f- y/p(^' ( V7 -h Aa — fxp )

v/vTJXa -h pfi — V7) = G, -c'est-à-dire une conique tangente aux droites

|xp -h V7 — Xz, V7 -h Ax — ixp, Xx -+- |;aP — V7.

Si, dans ce dernier cas, on cherche le lieu du centre, ces trois droites «ont celles qui joignent les milieux des côtés du triangle de référence.

III. Trouver les coordonnées du pôle de Àa h- fxp h- V7 par rapport à /p7 -+- ;//7x -h n^p.

L'équation tangentielie est alors (127)

/"À'-f- m^i^^-i- /i'v' — %nwiiy — a/i/vA — 2/wXpL = o, «t les coordonnées du pôle ont pour expression

a' =:: /(A /«p — //V ), p' = /W (/WfA — «*•' 'X),

7' =r // (/JV — A — W/x),

d'où

«n opérant comme ci- dessus, on trouve que les valeurs de /, /w et n sont

respectivement proportionnelles à

La condition pour que la conique circonscrite à apy passe par un quatrième point (a', S', 7') étant donnée par

le lieu du pôle de ax h- p& h- vy par rapport à une conique passant par quatre points est

^ (/xp -f- v/ — Àac) -f- -iy (v7 -h\x- ap) -f. X ! >a -f- pp — V7) = o,

ce qui, dans le cas où la droite est à Tinfini, représente une conique passant par les milieux des côtés des triangles que Ton peut former avec les quatre points.

Ia condition pour qu'une conique soit tangente à la droite Aa -f- Bp -1- C7 étant exprimée par

v/A/ -f- \/Bm -+- ^Cn = o,

le lieu du pôle de )^ -h ^.p -1- V7 par rapport à une conique passant par trois points et tangente à cette droite est donné par l'équation

/Aa {|xp -f- vy — Ix) -r- v'Bp (77 -h Ax — fzp) -f- V/C7 (/a -h up — V7) = o,

qui représente en général une courbe du quatrième degré. *

294.. Lorsqu'un point (a", |3", y") appartient à la tangente menée à la courbe par le point fixe (a', (3', y' ), la droite passant par {a', p', y'), (a", (3", y") rencontre la courbe en deux points qui coïncident, et l'équation en /: m (290), qui détermine les points oii celte droite rencontre la courbe doit avoir ses racines égales.

Pour trouver Téquation de toutes les tangentes qu'on peut mènera la courbe par («', (3', /), il suffit de remplacer, dans réquQtion de la courbe, les coordonnées courantes a, (3, y par/a-f-ma', /(3-i-m(3', ly-hny^, et d'écrire la condition pour que l'équation résultante en / : m ait des racines égales. On trouve ainsi, pour l'équation des deux tangentes menées à la conique par un point donné (a', (3', y'),

SS' rrr P%

en faisant, pour abréger,

On peut encore mettre cette équation sous une autre forme en observant que la droite qui joint à («', |3', y') un point (a", j3", y") de la tangente menée par («', (3', y'), est tangente à la courbe. 11 suffit, après avoir exprimé que la droite

qui passe par ces deux points (65), est tangente à la courbe, &y considérer a", j3", y" comme coordonnées courantes; ce qui revient, en d'autres termes, à remplacer dans la condition

AX'-f- BjUL^.-+-Cv=-+-2F/:jiv-f-2Gv). -f-aHX/xi^o,

indiquée au n**285,A, /:xetv par (Sy'— (3'y, a'y—y'oCf a|3' — a'|3. L'équation du couple de tangentes, obtenue de cette manière, ne diffère pas, au fond, de celle qui a été donnée plus . haut; en se reportant, en effet, aux valeurs de A, 6, C, . . . du n"" 285, il est facile de voir qu'on a la relation

(«a» -+- 6(3^ -I- . . . ) ( ««'' -+- 6P'-^ -h . . . ) — {aaa -f- . . . )' = A(P/-(3'y)^

EXERCICE

Trouver le lieu des sommets des angles droits circonscrits à la coniqne donnée par l'équation générale. (Foir n** 169, Ex. IV.)

L'équation du couple des tangentes menées par un point ( l-i7) peut se mettre sous la forme

— ^¥(jc — x'}(xf' — yx')

et représente deux droites perpendiculaires lorsque la somme des coefficients de x^ et de j^ est nulle. Le lieu cherché, qui a pour équation

C{x^-hX^) — aGx— aFj-H A -h B = o,

est le cercle directeur delà conique. Lorsque cette conique est une para-

bole, on a C == o, et le lieu se réduit à la droite

Gx-hFj=i(A-hB),.

qui est la directrice de cette parabole.

295. Il résulte de ce qui précède que les couples de tangentes menés par (P, yj, (y, a), («> P) ont respectivement pour équations

By H- Cp» — 2 F j3y == o, Ca» -h Ay' — 7. Gya = o,

AP' H-Ba' — 2Ha(3 = o,

comme on peut du reste le voir directement, en mettant réquation de. la courbe sous la forme

(aa + Ap-f- ^y)'-4-(Cp'-f-By' — :iVp>y)=-o.

Si (3 — fry, (3 — k' y représentent les deux tangentes menées par (]3, y), on a, d'après les équations précédentes, kh' = t;\ on a de même pour les expressions correspondantes relatives

aux autres couples de tangentes, y? =5; et le produit de ces

trois quantités est égal à Tunité. On voit donc, en se reportant à la signification de la constante /r (54), que si A, B, C, D, £, F sont les sommets d*un hexagone circonscrit, on a la relation

sinEAB sinFAB.sinFBC.sinPBCsinDCA.sinECA sinEAC.sinFAC.sinFBA.sinDBA.sinDGB.sinECB"^''

Lorsque les équations de trois couples de droites peuvent se mettre sous la forme

M»-hN'-h2/'MNz:=0, N'-f-L' -^2g'NL=:0,

L'-+-M^-^2yi'LM = o,

les droites qui les composent sont tangentes à une même conique, puisque les équations trouvées plus haut pour les trois couples de tangentes se ramènent à cette forme quand on y

remplace a par L y^Â, (3 par M \/B,

DCS SBCTIOIfS C0N1QUB8. NOTATIONS ABRÉGtKS. 877

296. Lorsqu'on veul former les équations des droites qui joignent un point (a^ ^\ y') à tous les points d'intersection de deux courbes, il suffît de l*emplacer dans les équations de ces courbes les coordonnées courantes a, (3, y par/a 4- ma', /pH-m(3', iy-^my' et d'éliminer /: m entre les équations résultantes. Un point quelconque de ces droites jouit en effet de cette propriété, que la ligne qui le joint à («', (3', y') rencontre les deux courbes en un même point; par suite les équations en / : m qui déterminent les points où l'une de ces lignes rencontre les courbes, ont une racine commune : les coordonnées de ce point satisfont donc au résultat de l'élimination.

Ainsi les deux droites qui joignent (a', (3', /) aux points où la droite L rencontre la conique S ont pour équation

L'S- 2LL'P-f-L»S' = o,

L' et S' étant ce que deviennent L et S quand on y remplace a, P, y par a', (3', /. Lorsque le point (a', (3\ /) est sur la courbe, l'équation se réduit à

L'S-2LP = o.

EXERCICE

Dans une conique, les cordes vues sous un angle droit d'un point de la courbe passent par un point fixe (181, Ex. II).

Prenons des coordonnées rectangulaires et formons, comme ci-dessus, l'équation des droites qui joignent le point donné (x\ y') aux intersections de la conique ax^ -+- ^j* -»- ... avec la droite >x -+- pj h- v. Pour que ces droites soient perpendiculaires, il faut que la somme des carrés des coefficients de jr' et de /* soit nulle, ce (lui donne

(Aa*'H- M/' -h v)(a-+- b) = i{a'kx'-+- biif').

L«s quantités a, p, v n'entrent dans cette équation qu'au premier degré; par suite, la corde passe par un point fixe ( ! "" ^ jc' j a»^ j*

Lorsque le point de la courbe se déplacée sur cette courbe , l'autre point décrit une conique. Lorsque l'angle sous lequel est vue la corde n'est pas

378 CHAPITRE XIY.

droit (ou s41 est droit et que le point d'où l'on voit la corde ne soit pas sur la courbe), on trouve, pour équation du lieu, une expression qui renferme >, fA et V au second degré ; la corde enveloppe alors une conique.

297. L'indéterminée qui entre au prenjier degré dans l'équation d'une conique, entre aussi au premier degré dans l'équation de la polaire d'un point, puisque celle-ci ne renferme les coefficients de l'équation de la courbe qu'au premier degré. Ainsi, P et t' étant les polaires d'un même point par rapport aux deux coniques S et S', la polaire du même point par rapport à S -*- ^S' sera P 4- A-P', puisque

{a -h ka') ccoc' +...=: aaoc' -h. . . 4- k(aax' -!-...)•

Par suite : Les polaires d'un point prises par rapport aux coniques circonscrites à un même quadrilatère passent par un point fixe (m, Ex. II).

Si Q et Q' sont les polaires d'un autre point par rapport à S et S', la polaire de ce second point par rapport à S -f- â*S' sera Q -f- /rQ'. Les polaires de deux points, prises par rapport à un système de coniques circonscrites à un même quadrilatère forment donc deux faisceaux homographiques (59).

Le lieu de V intersection des lignes correspondantes P H- kV\ Q -t- /f Q' de deux faisceaux homographiques est une conique passant par les sommets des faisceaux.

En effet, en éliminant /r entre P-t- A* P' et Q-h /rO', on trouve PQ'=P'Q. Dans le cas particulier qui nous occupe, l'intersection des deux lignes correspondantes est le pôle par rapport à S -h Z S' de la droite qui joint les deux points donnés. Donc:

Le lieu du pôle d'une droite donnée pris par rapport aux coniques passant par quatre points Jixes est une conique (278, Ex. II).

Lorsqu'une indéterminée entre au second degré dans l'équation d'une conique, elle entre également au second degré dans l'équation de la polaire d'un point donné qui alors enve-

loppe une conique. Ainsi la polaire d'un point fixe par rapport à une conique ayant un double contact avec deux coniques fixes, enveloppe une conique» puisque Téquation de chacun des systèmes de coniques indiquées au n*»287 renferme Tindéterminée /jt au second degré.

Nous terminerons ce Chapitre par l'exposé de quelques problèmes dont on peut baser la solution sur les principes qui viennent d'être exposés, nous réservant de développer dans un Chapitre ultérieur certaines propriétés de l'équation générale du second degré.

EXERCICES

I. Trouver le lieu de l'intersection des polaires par rapport à deux coniques fixes d'un point qui glisse sur une droite fixe.

Soient P' et P", Q'et Q" les polaires de deux points (a', p\ 7'), (a", p\ 7") de la droite fixe par rapport aux deux coniques. Les coordonnées d'un autre point de la droite sont lo^'-h iiot", Ip'-hiip", ly' -h iiy", et ses polaires XP'h- pP», >Q'-h pQ" se coupent sur la conique P'Q" = P"Q'.

II. Le rapport anbarmonique de quatre points en ligne droite est égal à celui de leurs quatre polaire?.

En effets le rapport anbarmonique des quatre points

/a'-t- /wa", /'a-h //l'a", /"a'-h ///S", /"'a' H- /«"a"

est évidemment le même que celui à^s quatre droites

l^'-i-f^iV\ /'P'-h //l'P", /"P'-^ ///"F, /'"P'-h m'"?".

III. Trouver l'équation des deux tangentes menées à la conique S aux points où elle est coupée par la droite 7.

La polaire d'un point (a', p') de 7 a pour équation (291)

D'ailleurs, en faisant 7 = 0 dans Téquation générale, on trouve, pour déterminer les points où 7 rencontre la courbe,

Éliminant a et p' entre ces deux équations, on trouve, pour les deux tangentes,

ûS5-2//S,s,H-/^s;--o.

38o CHAPITRI XIY.

Si la droite 7 s'éloigne à l'infini et se transforme dans la droite a, l'équation précédente représente les asymptotes en coordonnées cartésiennes et devient

û(^^V a// — — b(—\- \f^y) dx dy \dxj ~~

IV. Une des asymptotes d'une conique circonscrite à un triangle passe par un point fixe, l'autre asymptote enveloppe une conique inscrite dans ce triangle.

Prenons le triangle pour triangle de référence. Soient r,, r, les asymptotes et /za -H Z>^ -h ry la ligne à l'infini, la conique aura pour équation

et, comme elle passe par les points (p, 7), (7, a), (a, p), cette équation ne devra contenir aucun terme en a% fi^ 7*; si donc t^ est représentée

par Xa -+- p^ -f- V7, t^ le sera par y » h p -h — 7 ; et si ^, passe par

(^'^ P'i 7')» ', sera tangente à la conique « v/âa' -^b^f^' -h cy/y^' = o (285, Ex.) inscrite dans le triangle. On prouverait de la même manière que, si l'une des cordes d'intersection d'une conique circonscrite à un triangle avec une autre conique définie par l'équation générale est représentée par Xa -h fxp -h V7 = o, l'autre corde a pour équation

V. Des coniques ont même triangle autopolaire, l'une des cordes d'intersection d'une de ces coniques avec une conique fixe (donnée par l'équation générale) passe par un point fixe, l'autre corde enveloppe une conique (M. Burnside). *

En prenant le triangle autopolaire pour triangle de référence, les termes en ap, py^ 7a disparaissent de l'équation des coniques; si donc l'une des cordes est représentée par Xa h- pP -+- V7 = o, l'autre le sera par

\x(iig-Hy/l - If) -+- pS(v/| H- >./— ug) -f- V7(>./-H y.g - v/l) = G.

VI. Soient A et A'[(a,, p,, 7,), (a„ p„ 7J] les points de contact d'une tangente commune aux deux coniques U et V; P et P' deux points quelconques de l'une et l'autre conique : trouver le lieu de Tintersection C des droites AP, A'P' lorsque PP' passe par un point fixe 0 de la tangente commune (M. Williamson).

Désignons par P et Q les polaires de (a„ p,, 7,), (a„ p„ 7,) prises respectivement par rapport à U et V ; y, p, 7 étant les coordonnées de C,

celles du point P (où AC rencontre une deuxième fois la conique) seront

Ua,-2Pa, Up.-aPp, Uv.-aPy;

de même, celles du point P' seront Vz, — aQa. . . Si la droite PP' passe par le point 0, que nous supposerons à Tintersection de a et py on aura en général, pour le lieu du point C, Téquation

Ua, — 2Pa Va,— aQg

qui est celle d'une courbe du quatrième ordre quand A, A' sont des points quelconques pris respectivement .«ur U et sur V^ et 0 un point sans relation déterminée avec A et A'.

Lorsque les points A, A' et 0 sont en ligne droite (sur la ligne a par exemple], le lieu se réduit à une courbe du troisième ordre

parce qu*alors a, et a, étant nuls, Téquation primitive est divisible par a. Enfin si les points A et A' sont en outre les points de contact d'une tangente commune, P et Q représentent la même droite, et l'équation précédente se réduit à