U = XV
Le lieu est alors une conique passant par Tintersection des coniques U et V.
Vn. Inscrire dans une conique donnée par Téquation générale un triangle dont les côtés passent par les trois points (p^y), (y, a),' (a, p).
Prenons le triangle formé par les trois point» pour triangle de référence. La droite qui joint un point (x, p, 7) de la courbe à un point (a', p\ 7'] rencontre la courbe en un deuxième point dont les coordonnées sont S'a - aP'a', S'P - aP'P', S'7 - aP'/. Lorsque (a', p\ y') est Tintersection des droites p et 7, on a p' = o, 7' = o, et on peut prendre a'= i ; alors S' = a, P'= S,, et les coordonnées du deuxième point de rencontre de la droite qui joint («, P, 7) à (p, 7) avec la cimique sont
oLx — aS,, «p, ay.
De même la droite menée par (a, p, 7) et (7, a) rencontre la courbe en
un autre point
et la droite qui joint ces deux points passe par (a, p) lorsqu'on a
noL — aS, __ 6«
o^ bp-- aS,
Par suite les coordonnées du sommet doivent satisfaire à la relation
en se reportant aux notations du n*" 291, et remplaçant, dans celte équation, ax par S, — /«p — gy, et b[^ par S, — hx —/y, elle devient
/,(aS,+ pS,) + v(/S,^ffS,) = o,
et comme (a, p, 7) appartient à la courbe aS, h- pS^ -h 7S3 == o, on a en
définitive
Le facteur 7 peut être supprimé comme n'ayant pas de signification géométrique; Tun quelconque des points où la droite 7 rencontre la courbe satisfait, il est vrai, aux conditions analytiques exprimées plus haut, c'està-dire qu'en le joignant à (p, 7) et (7, a) on détermine sur la courbe deux points en ligne droite avec (a, P); mais les droites qu'on obtient ainsi coïncident avec 7 et ne sauraient former de triangle avec 7. Le sommet du triangle cherché se trouvera donc à l'un des deux points d'inlersection de la courbe avec la droite /S, •+- gS^ — /2S3. Il est d'ailleurs
facile de voir que
/s. = gS, = /183
sont les droites qui joignent les sommets correspondants des triangles aP7, S, S, S3 ; par suite la droite /S, -+- gS^ — /jS, = o (60, Ex. II) peut se construire de la manière suivante :
Former le triangle DEF (^g. 98) ayant pour côtés les polaires des points
fixes A, B et C; les droites qui joignent les sommets correspondants des
tdeux triangles DEF, ABC rencontrent le triangle polaire DEF en trois
Fig. 93.
points L, M, N qui déterminent trois droites LM, MN et LN passant par les sommets du triangle cherché.
• On pourrait arriver à cette solution par des considérations géoroé-
triques. Supposons, en effet, que nous ayons tracé les deux triangles 123, 4^6 inscrits dans la conique et passant par les points donnés A, B et C. En appliquant le théorème de Pascal à Thexagone 123456, on voit que la droite BG passe par l'intersection de i6 et 34, et que ce dernier point est le pôle de AL (146, Ex. I). De même AL passe par le pôle de BC, et le point L est sur la polaire de A.
Lorsque les trois points fixes forment un triangle autopolaire, le problème est indéterminé et admet une infinité de solutions.
VIIL Lorsque deux coniques ont un double contact , toute tangente à Tune est divisée harmoniquement par son point de (contact , ses points d'intersection avec l'autre conique et avec la corde de contact.
Si l'on remplace dans l'équation S + R'= o d'une conique a, p, 7 par
/a'-hwa", l^'-^mp\ iy^^my", les coordonnées
véri6ant l'équation S = o de l'autre conique, on trouve la relation
(/R'-hwR'')*H-a/wP = o,
qui doit être un carré parfait, lorsque la droite menée par (a', p\ 7'), (a", p\ 7") est tangente à S -h R'.
Pour cela, il faut qu'on ait P = — iR'R", et l'équation se réduit à
(/R'— wR'')' = o,
ce qui démontre le théorème.
IX. Trouver l'équation de la conique tangente aux cinq droites
a, p, 7, Aa-hBp-f-C7, A'a-+-B'PH-C'7. RÉPONSE. )/ïâ. -h ^m p ■+- v/«7 = o,
/, m et n étant déterminés par les conditions
X. Trouver l'équation de la conique tangente aux cinq droites a, p, 7,
a -h p H- 7, aa -h p — 7.
Dans ce cas
l'équation cherchée est donc
a v^—a -+- y/Tp -h \/7 = o.
384 CHAPITRE XIY.
XL Trouver Téquation de la conique tangente aux droites a, p, 7 en leurs points milieux.
En prenant les trois droites pour lignes de référence, et désignant par a, by c leurs longueurs respectives, on trouve
v/«a -+- ^bp -4- ^cy — o.
L*énoncé de ce problème semble contenir une donnée de trop ; mais, en se reportant à la propriété connue du triangle circonscrit (les trois droites qui joignent les sommets aux points de contact des côtés- opposés passent en un même point], on voit qu'il y a une des données qui est la conséquence de deux autres, et ne saurait par suite compter comme donnée proprement dite.
XII. Trouver la condition pour que ^Ti -^^mp-h \/nf = o représente une parabole.
Il suffît d'exprimer que la courbe est tangente à la droite silyée à TinGni (254), on a ainsi
/ m fi
abc
XIII. Trouver le lieu du foyer d'une parabole inscrite dans le triangle apy.
Soient a', p', 7' les coordonnées d'un des foyers d'une conique inscrite dans le triangle apy ; les droites qui joignent ce foyer aux commets du triangle auront pour équations
r> ^^ c> ' "ût ^^ TT'^ 77 ^^ "17 '
et ' ûl ' ■ ' — /
les droites qui joignent l'autre foyer aux mêmes sommets, faisant des angles égaux avec les côtés du triangle ( 189), seront représentées par (55)
et on aura, pour les coordonnées du deuxième foyer,
Si donc on connaît l'équation du lieu décrit par un foyer, on pourra en déduire immédiatement celle du lieu décrit par l'autre; le second foyer (a', p", 7") étant à l'infini, on a
a'sin -*- ^' sinB -+■ 7' sinC = o,
et le premier foyer (a', ^j\ 7') se trouve sur le cercle
9inA sinB sinC
Les coordonnées du foyer de la parabole situé à Tinfini sont
/ lii n
siï?Â' sm^' iiiï^'
puisque (Ex. XII) elles doivent vérifier à la fois les deux équations
a sin A -h p sin B -h 7 sin C -- o , y/Tâ h- y/ m p -+- \^7r} — o. Les coordonnées de l'autre fover sont alors
sin'A sin'-'B 8in*C
