RÉCIPROQUES

208. La méthode des notations abrégées, exposée au Chapitre précédent, peut s'appliquer aux équations en coordonnées tangentielles. Ainsi, quand les consianies X, fx et v vérifient la relation

(aX-f-6/x-h cv) (a'X -^b'u -hc-'v)

la droite qu'elles définissent est tai\genle à une section conique (285): par suite,. la droite qui joint les deux points (70)

tfX-h bu. 4- cv = o, a"! -+- 6''u -4- c'y =: o

est tangente à cette conique, puisqu'elle est déterminée par des valeurs de X, /x et v salisfaisant à Péquation précédente.

Si donc a, (3, y et 5 sont des équations de points (c'est-àdire des fonctions du premier degré en X, u et v), Téquation ay=r/rj38 représente en coordonnées tangentielles une conique tangente aux quatre droites a(3, (3y, yà et 5a. Plus généralement, Szzzo etS'=:o élant les équations tangeniielles de deux courbes, S — /r S'= o sera Téquation tangentielle d'une courbe à laquelle seront tangentes toutes les tangentes communes à S et S', puisque les valeurs de %, a et v qui annulent à la fois S et S' annulent aussi S — /i S'.

Ainsi, S étant une conique, S— /ra^ sera une conique a^ant avec la précédente, pour tangentes communes, les tangentes issues des points a et (3. L'équation ay = lf^^ représente une conique dans laquelle les couples de tangentes

issues des points a el y coïncident respectivement avec les droites a^, yp; les points a, y se trouvent donc sur celle conique, et p est le pôle de la corde qui les joint. De noême, S et S — a' représentent deux coniques ayant un double cpntact, ei les tangentes menées par les extrémités de leur corde commune se renconifenl en a; autrement dit, a est le pôle de la corde de contact.

On peut, du reste, en appliquant à l'équation ay = /i*(3' le procédé indiqué au n*" 270, représenter un point de la courbe

par

lj.'a-\- a a/f(3 4- y,

puisque la tangente en ce point passe par les points

ua-^/i-p et ///i-(3 -+- y (*).

EXERCICES

1. Trouver le lieu du centre des coniques inscrites dans un quadrilatère.

Soient Z = o, I'= o les équations tangentielles de deux coniques inscrites dans un quadrilatère; l'équation tangentielle d'une autre conique inscrite quelconque sera 2 -4- /-S' = o (298), et on aura pour les coordonnées du centre de cette conique (140, 451 )

C-i-AC' C-f-X-C' La forme de ces expressions (7) montre que ce centre est sur la

(*) En d'autres termes, si dans un système quelconque, x\y\ z' et jr",^'', z" sont les coordonnées de deux points d'une conique, x"', jk*", z"' celles du pôle de la droite qui les joint, les coordonnées d'un point quelconque de la courbe peuvent se mettre sous la forme

/x«x'-+-2/*Ax'^H-x% ^Y^2uAjr'^-i-y\ fi}z'-^7fikz"'-^z\

puisque la tangente en ce point détermine sur les deux tangentes fixes des segments qui sont dans les rapports /a: A, /aA: i. Lorsque A = i, la courbe est une parabole. L'espace nous manque pour développer ce principe, qui est d'un usage fréquent; le lecteur pourra en déduire la solution du problème suivant ; Trouver le Heu du point ou une tangente rencontrant deux tangente^ fixes est divisée dans un rapport donné.

388 CHAPITRE xy.

droite qiii joint les contres f y; ? ^ ) j ( p? î ttt ) des deux premières coniques et la divise, dans le rapport de C à XC'.

il. Trouver le Heu des foyers des coniques inscrites dans un quadrilatère.

En reniplaçant , dans les équations (2fi8, Ex.) qui déterminent les foyers, A par A -h X- A'..., et éliminant /•, on trouve, pour l'équation du lieu,

[C [x^ - j' ) -h 2F7 — iGx -f- A - B] [C'xy - ¥'x - (j'y -h H'] = [C'(x'- j») -h a F'j— iG'x-h A'— B'J [C.xy -¥x- Gj-h H],

qui est celle d'une courbe du troisième degré (vr)/>297, Ex. XV), les termes de degré plus élevé se détruisant réciproquement. Cependant lorsque I et 2' sont des paraboles, ^-^kV représente un système de paraboles inscrites dans un même triangle; on a alors C = o, C'= o, et le lieu des foyers se réduit à un cercle.

Lorsque les coniques sont ox}ncen triques, et que le centre est pris pour origine, les coefficients F, F', G. G' s'annulent tous à la fois; l'équation S'4-/2' représente un système de coniques inscrites dans un parallélogramme, et le lieu des foyers est une hyperbole équilalère (*).

III. Les cercles directeurs des coniques inscrites dans un quadrilatère ont même axe radical.

En effet, nous avons vu (294, Ex.) que Téquation du cercle directeur ne contenait les coefficients A, B,. . . qu'au premier degré, et, [>ar suite, prenait la forme S ■+■ XS' = o lorsqu'on y remplaçait A par A -f- X A'. . .. Le théorème suivant n'est qu'un cas particulier de celui qui précède.

Les cercles décrits sur les trois diagonales d'un quadrilatère complet comme diamètres ont même axe radical.

299. Chacune des équatioiis trouvées au Chapitre précédent est par suite susceptible d'une double interprétation, suivant qu'on la considère comme relative à des coordonnées irilinéaires ou tangentielles (70), et peut conduire à un double théorème, le théorème déduit de la considération des coordonnées tangentielles étant le réciproque de celui qui se

(*) On démontrerait de la même manière que le Heu des foyers des coniques circonscrites à un quadrilatère, lieu qui est en général du sixième degré, se réduit au quatrième degré lorsque le quadrilatère est un parallélogramme.

MÉTHODE DES POLAIRES RÉCIPROQUES. 38f|

rapporte aux coordonnées trilinéaires. Ainsi» par exemple, nous avons démontré (266) que si trots coniques S, S -4- LM, S-f-LN ont deux points (S, L) communs, les cordes (M, N, M — N) qui joignent les autres points communs à ces coniques prises deux à deux se coupent en un même point. Mais si nous considérons ces équations comme relatives à des coordonnées langenlielles, nous voyons que L est le point de concours des deux tangentes communes aux trois coniques, et que les points M, N, M — N sont les intersections des tangentes communes à ces coniques prises deux à deux; de là ce théorème réciproque : Si trois coniques ont deux tangentes communes, les intersections des tangentes communes à ces coniques prises deux à deux sont en ligne droite.

De cette manière, chaque théorème de positioriy c'esl-à-dire ne se rapportant ni à la grandeur des lignes, ni à celle des angles, conduit à un théorème réciproque, dont renoncé s'obtient en changeant dans renoncé du premier les mois points et lignes en lignes et points; et ces deux tliéorèmes se démontrent par les mêmes équations interprétées de deux manières différentes.

Nous exposerons, dans ce Chapitre, la méthode géométrique qui a ^\\é Fatlention des mathématiciens sur ce principe de dualité [*).

300. Une courbe quelconque S étant donnée , si l'on prend les pôles de ses tangentes par rapport à une conique également donnée U, que Ton appelle conique auxiliaire, on obtient u-ne nouvelle courbe s qui est la courbe polaire de S par rapport à U.

Nous avons déjà eu occasion de résoudre un problème relatif aux courbes polaires (225, Ex. Xll), et nous pouvons

(*) l.a méthode des polaires réciproques e&l due à Poncelet, qui Ta exposée dans le IV* volume du Journal fie Crellr. M. Plûcker a préî»erite le principe de dualité (iVrA7fm der Analjtischèn GcometriCf i83j) au |ioint de vue purement analytique que nous venons d'indiquer; mais c'est Mobius qui, dans sa Statique (Barjcenfrische Calcul^ '8^7) a iniroduil l'usage des coordonnées tangentielles. .

énoncer le théorème trouvé alors, en disant que la courbe polaire d'une cçnique par rapport à une autre conique est toujours une courbe du second degré.

Nous dirons, pour abréger, qu'un point correspond ik une droite, lorsqu'il est le pôle de celte droite par rapport à U; et puisque, d'après notre définition, chaque point de s est le pôle par rapport à U, d'une tangente à S; nous pourrons dire que chaque point de s correspond à une tangente à S.

301. Le point d' intersection de deux tangentes à S correS' pond à la droite qui joint les points de s correspondant à ces tangentes.

Ce théorème résulte de la propriété connue de la conique U (li>6): l'intersection de deux droites est le pôle do la droite qui joint les pôles de ces deux droites.

Supposons que les deux tangentes à S soient infiniment rapprochées, les deux points correspondants de s seront aussi infiniment voisins et la droite qui les joint sera tangente à s; mais comme deux tangentes consécutives à une courbe s se coupent au point de contact, le théorème ci-dessus peut alors s'énoncer :

Si une tangente à S correspond à un point a de s, le point de contact de cette tangente correspond à la tangente menée à s par le point a.

Nous voyons ainsi que la relation entre les courbes est réciproqucy et que S peut se déduire de s de la même manière que s a été déduit de S; de là le nom de polaires réciproques ou, plus simplement, de réciproques donné à ces courbes.

302. Nous pouvons maintenant, étant donné un théorème de position relatif à une courbe S, en déduire un autre relatif à la courbe 5. Ainsi, par exemple, si nous savons qu'un certain nombre de points liés à la figure S sont en ligne droite, nous en déduirons que les droites correspondantes liées à la figure s se rencontrent en un même point (146), et réciproquement. Quand un certain nombre de points liés à la figure S sont sur

iific conique, les droites correspondantes de la figure s sont tangentes à la polaire de cette conique par rapport à U. En généra!»- lorsque le lieu d'un point lié à S est une courbe S', Venveloppe des droites correspondantes liées à s est une courbe s', polaire réciproque de S'.

303, Le degré de la polaire réciproque d'une courbe est égal 41 la classe ( lfc5, Note) de cette courbe^ c'est-à-dire au nombre de tangentes qu'on peut lui mener par un point quelconque.

En effet, le degré de s est déterminé par le nombrfe de points suivant lesquels une droite peut coupera; et, à une série de points de s situés sur une droite, correspond un même nombre de tangentes à S passant par le point correspondant à cette droite. Lorsque S est une conique, on peut lui mener par un point deux tangentes, réelles t)u imaginaires, et on ne peut lui en mener que deux (H5); donc une droite peut rencontrer 5 en deux points, réels ou imaginaires, et ne peut la rencontrer qu'en deux points : par suite la polaire réciproque d'une conique est une courbe du second degré.

304. Les exemples suivants serviront à montrer comment on peut, dans le cas où S et 5 sont des coniques, déduire par <;ette méthode un théorème d'un autre.

Nous avons vu (267) que si, dans la conique S, on //i5cri7 un hexagone a^^ant A, B, C, D, E, F pour côtésy les /;o//i/5 d'intersection AD, BE, CF de ses côtés opposés se trouvent sur une ligne droite. Nous pouvons ^en conclure que si, à la conique 5, on circonscrit un hexagone dont les sommets sont «,6, c, rf, e,f\ les droites ad, be, cf concourent en un même point (265). Le théorème de Pascal et celui de Brianchon sont réciproques l'un de l'autre ; c'est ainsi, du reste, que le second a été obtenu.

On trouvera dans ce numéro et dans les suivants un certain nombre de théorèmes avec leurs réciproques en regard. En s'astreignant à écrire ces derniers avant d'en lire l'énoncé, le lecteur arrivera rapidement à se rendre maître de la méthode qui se réduit en définitive à un échange de mots: point et ligne; inscrit et circonscrit; lieu et enveloppe, etc.

Les trois côtés d'un triangle tournent autour de trois points fixes, tandis que deux sommets glissent sur deux droites; le troisième sommet décrit une conique (269).

Si les points par lesquels passent les côtés sont en ligne droite, le troisième sommet décrit une droite (47, Ex. II).

Dans quel autre cas le troisième sommet décrit -il une drpile (47,

Ex. ni)?

Les sommets d'un triangle glissent sur trois droites fixes, tandis que deux de ses côtés passent par deux points fixes; le troisième côté enveloppe une section conique.

Si les droites sur lesquelles glissent les sommets sont concourantes, le troisième côté passe par un point fixe.

Dans quel autre cas le troisième côté du triangle passe-t-il par un point fixe (50, Ex. 111)?

Lorsque deux coniques se louchent, il en est de même de leurs réciproques; car les premières ayant de commun un point et la tangente en ce point, les dernières ont une tangente commune et un point commun qui est le point de contact de cette tangente. Quand deux coniques ont un double contact, leurs réciproques jouissent de la même propriété.

Quand deux des sommets d'un triangle circonscrit à une conique glissent sur deux droites fixes, le troisième sommet décrit une conique ayant un double contact avec la conique donnée (272, Ex. II).

Quand deux des côtés d'un triangle inscrit dans une conique passent par deux points fixes, le troisième côté enveloppe une conique ayant un double contact avec la coniquo don il ce (272, Ex." 111).

305. Nous avons démontré (30t ]{Jif;\ 94) que lorsque deux points, P et P', de S correspondent aux tangentes pt, p' l' à 5, les tangentes en P et P' correspondent aux points de contact p et />', et leur intersection Q à la corde de contact /?p'; par suite :

.4 un point Q et à sa polaire PP' par rapport à S, correspondent une droite pp' et son pôle q par rapport à s.

Lorsqu*une conique passant par deux points fixes est tangente à deux droites données, la ligne qui joint les points de contact passe par l'un des points d'un couple fixe (280, Ex.).

Lorsqu'une conique tangente à deux droites fixes passe par deux points donnés, l'intersection dos tangentes menées par ces points se trouve sur une des droites d'un couple fixe.

Les polaires d'un point fixe, prises par rapport à une série de coniques passant par quatre points, concourent en un même point (151 , Ex. II).

Le lieu des polos d'une droite Gxe, pris par rapport à une série de coniques passant par quatre points, est une scclion conique (278, Ex. I).

Les droites qui joignent les sommets d'un triangle aux sommets opposés de son triangle polaire pris par rapport à une conique, concourent en un même point (99).

Inscrire dans une conique un triangle dont les côtés passent par trois points donnés (297, Ex. VII).

Les pôles d'une droite fixe, pris par rapport à une série de coniques inscrites dans un même quadrilatère, sont situés en ligne droite (278, Ex. III).

L'enveloppe des polaires d'un point Cxe, prises par rapporta une série de coniques inscrites dans un quadrilatère, est une section conique.

Les points d'intersection respectifs des côtés d'un triangle avec les côtés opposés de son triangle polaire sont en ligne droite.

Circonscrire à une conique un triangle dont les sommets soient situés sur trois droites données.

306. Etant données deux coniques S et S' et leurs récipraques s et s\ aux quatre points A, B, C, D communs à S el S' correspondent les quatre tangentes «, b, c, d communes à s et*'; el aux six cordes d'intersection de S avec S', AB, Cl); AC, BD; AD, BC, correspondent les six points d'intersection des tangentes communes à s ei s' : ab, cd; ac, bd; ad, bc [*).

Lorsque trois coniques ont chacune un double contact avec une quatrième, ou sont tangentes à deux droites fixes, leurs six cordes d'inlerseolion pa.^sent trois par trois par un même point (2iî4).

En d'autres termes, trois coniques ayant chacune un double contact avec une quatrième, peuvent être considérées comme ayant quatre centres radicaux.

Lorsque trois coniques ont chacune un double contact avec une quatrième, ou passent par deux points fixes, les six points d'intersection des tangentes communes sont situés, trois par trois, sur une même droite.

Ou bien : trois coniques ayant chacune un double contact avec une quatrième, peuvent être considérées comme ayant quatre axes de similitude. (/Wr le théorème dunM17, dont celui-ci n'estqu'uneexlension.)

(*) On appelle quelquefois quadt angle le système de quatre points réunis

Si, par le point de contact de deux coniques qui se touchent, on mène une corde, les tangentes aux extrémités de cette corde se rencontrent sur la corde commune aux deux coniques.

Si, par l'intersection des tangentes communes à deux coniques, on mène deux cordes, les droites qui joignent leurs extrémités se coupent sur l'une ou Tautro des cordes communes aux coniques (272, Ex. 1).

Si A et B sont deux coniques avant chacune un double contact avec S, les cordes de contact de A et B avec S et les cordes d'intersection de A et de B concourent en un même point et forment un faisceau harmonique (263).

Si A, B et C sont trois coniques avant chacune un double contact avec S, et si, en même temps, A. et B sont tangentes h C, les tangentes menées par les points de contact se coupent sur une corde commune à A et B.

Si par un point, pris sur la tangente au point de contact de deux coniques qui se louchent , on mène une tangente à chacune de ces coniques, la ligne qui joint leurs points de contact passe par l'intersection des tangentes communes aux deux coniques.

Si, par deux points d'une cordé commune à deux coniques, on mène des tangentes à ces coniques, les diagonales du quadrilatère ainsi formé passent par Tune ou Tautre des intersections des tangentes communes.

Si A et B sont deux coniques ayant chacune un double contact avec S, les intersections des tangentes menées à leurs points de contact avec S et celle des tangentes communes à A et B sont situées-sur une droite qu'elles divisent harmoniquement.

Si A, B et G sont trois coniques avant chacune un double contact

avec S, et si A et B sont tangentes à G, la droite qui joint les points de contact passe par l'intersection des tangentes communes à A et B.

307. Nous avons supposé, jusqu'ici, que la conique auxiliaire U était quelconque : dans ce qui va suivre, nous prendrons, pour nous conformer à un usage assez répandu, un cercle pour conique auxiliaire, et, à moins d'indication spéciale, nous entendrons par courbes polaires les courbes polaires prises par rapport à un cercle.

Nous avons vu (88) que la polaire d'un point par rapport à

par six droites, do même qu'on désigne sous le nom de quadrilatère le système de quatre droites se coupant en six points.

MÉTHODE DES POLAIRES SfiCIPROQUES. 895

un cercle est perpendiculaire à la droite qui joint ce point au centre, et que le produit des distances au centre du point elde la polaire est égal au carré du rayon. Nous pouvons donc indiquer de la manière suivante la relation qui existe entre deux courbes polaires par rapport à un cercle :

Si d'un point 0 donné fjig^ 94) on abaisse une perpendiculaire OT sur une tangente à la courbe S, et quon la prolonge

jusqu'en p, de telle sorte que le produit OT.Op soit constant et égal à /f% le lieu des points p sera une courbe s qui est la polaire réciproque de S. Cela revient, évidemment, à dire que le peint p est le pôle de PT par rapport à un cercle ayant 0 pour centre et /f pour rayon. On voit, du reste (301), que la tangente pt correspond au point de contact P, c'est-à-dire que OP est perpendiculaire h pt et que OP.O/ =A*.

Une modification dans la valeur de k entraîne un changement dans les dimensions de S, mais non dans sa forme, qui est, en général, la seule chose à considérer. Dans cette manière d'envisager les polaires, on peut faire abstraction du cercle et dire simplement que > est la réciproque de S par rapport au point 0 qu'on appelle alors V origine.

Les théorèmes suivants, déduits des principes exposés cidessus, permettent de transformer non-seulement des théorèmes de position, mais encore des théorèmes relatifs à la grandeur des lignes et des angles, et font ressortir les avantages qu'on peut retirer de l'emploi du cercle comme conique auxiliaire.

396 CDAPITRE XY.

Les distances de l'origine au point P et à la droite pt correspondante sont réciproques,

L*angle TQT' compris entre deux droites TQ, Ï'Q est égal à V angle pOp^ que forment les rayons vecteurs menés de V origine aux points correspondants p et p\ En elï'el,Jes droites Op et TQ, Op' et TQ sont perpendiculaires.

308. Trouver la polaire réciproque d*un cercle C par rapport à un autre cercle 0. Ce problème revient à trouver le lieu du pôle /;, par rapport au cercle 0, d'une tangente Pï au cercle C ijig' 95). Si MN est la polaire de C par rapport à 0, et PT celle

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