OC

CP~j5N'

mais le premier rapport est constant, puisque ses deux termes sont constants; les distances de /> au point 0 et à la droite MN sont donc dans un rapport constant OC : CP ; par suiîc le lieu du point/; est une conique ayant 0 pour foyer, MN comme directrice correspondante et OC : CP pour excentricité. L'excentricité de cette conique est supérieure, inférieure ou égale à l'unité, suivant que le point 0 est en dehors, en dedans du cercle ou sur le cercle.

Donc : La polaire réciproque d* un cercle est une section conique ayant l'origine pour foyer, la droite correspondante au centre pour directrice, et qui est une ellipse, une hyperbole ou une parabole, suivant que l'origine est intérieure, extérieure au cercle ou sur le cercle.

309. Ce qui précède nous permet de déduire du théorème du n® 307 un certain nombre de propriétés relatives aux angles.

Les angles compris entre deux tangentes au cercle et leur corde de

centacl sont égaux.

La droite menée au foyer par le point d'intersection de deux tangentes à une conique est la bissectrice de Tangle sous lequel est vue du foyer la corde de contact (191 ).

En efîet, l'angle compris entre une tangente PQ {fig. 94) et la corde de contact PP' est égal à l'angle sous lequel est vue du foyer la droite qui joint les points correspondants p et ç : de même l'angle QP'P est égal à l'angle sous lequel est

vue la droite p'g, et comme QPP' = QP'P, on 2i pOq =p'Oq.

La tangente au cercle est perpendiculaire au rayon qui passe par lo point de contact.

L'angle sous lequel est vue du foyer la droite qui joint un point d'une conique à l'intersection de la directrice avec la tangente en ce point, est un angle droit.

Ce théorème se démontre comme le précédent, en se rappelant que la directrice de la conique correspond au centre du cercle.

La ligne qui joint le pôle d'une droite au centre du cercle est perpendiculaire à cette droite.

La droite qui joint un point au centre du cercle fait des angles égaux avec les tangentes menées au cercle par ce point.

Le lieu des intersections des tangentes au cercle qui se coupent sous un aiigle donné est un cercle concentrique au premier.

L'enveloppe des cordes de contact des tangentes qui se coupent

La droite qui joirft à un point, l'intersection de la directrice avec la polaire de ce point, est vue du foyer sous un angle droit.

La droite qui joint au foyer Finterseclion d'une corde avec la directrice est la bissectrice de l'angle formé par les rayons vecteurs menés du foyer aux e.xtrémités de la corde.

L'enveloppiB des cordes vues du foyer d'une conique sous un angle constant est une autre conique ayant avec la première une directrice et un foyer communs.

Le lieu de l'intersection des tangentes dont la corde de contact est

SgB CHAPITRE XV.

sous un angle constant est un cercle concentrique.

vue du fover sous un ani'le donné est une conique ayant avec la première une directrice et un foyer communs.

Si une droite fixe coupe une série de coniques ayant une directrice et un foyer communs, Tenveloppe des tangentes aux coniques menées par les points de rencontre est une conique tangente à la droite fixe et à la directrice commune et ayant avec les coniques proposées un foyer commun.

Si Ton suppose, dans ce dernier ihéorème, que la droite fixe est à l'infini, on voit que : L'enveloppe des asymptotes d'une série d'hyperboles ayant une directrice ei un foyer communs est une parabole tangente à la directrice commune, et qui a pour foyer le foyer commun.

Lorsque par un point fixe on mène des tangentes à une série de cercles concentriques, le lieu des points de contact est un cercle qui passe par le point fixe et le centre des cercles.

Si par un point d'une circonférence on mène deux cordes perpendiculaires, la droite qui joint leurs extrémités passe par le centre.

Le lieu du sommet d'un angle droit circonscrit à la parabole est la directrice.

Nous disons une parabolej puisque, le point par lequel on mène les cordes étant pris pour origine, la polaire du cercle est une parabole (308).

L'enveloppe des cordes d'un cercle qui sont vues sous un angle constant d'un point fixe de la circonférence est un cercle concentrique.

Le lieu des sommets des triangles avant môme base et même angle opposé à cette base est un cercle qui passe par les extrémités de cette base.

Le lieu du sommet d'un -angle de grandeur constante circonscrit à la parabole est une conique ayant môme foyer et mémo directrice.

Étant donnés de position deux cotés d'un triangle, et l'angle sous lequel le troisième est vu d'un point fixe, ce troisième c(Hé enveloppe une conique qui a pour foyer le point fixe et qui est tangente aux deux côtés donnés.

MÉTHODE DBS POLAIRES RÉCIPROQUES. SqQ

Le lieu des sommets des angles l Dans une conique l'enveloppe de droits circonscrits à une ellipse ou la corde vue sous un angle droit,

à une hyperbole est un cercle.

d'un point de la conique, est une conique ayant ce point pour foyer.

Les pieds des perpendiculaires abaissées d'un point de la circonférence sur un triangle inscrit sont en ligne droite ( 125 ).

Si Ton prend le point du cercle pour origine, au triangle inscrit dans le cercle correspond un triangle circonscrit à une parabole; au pied de la perpendiculaire abaissée sur une droite correspond une droite menée par le point correspondant perpendiculairement au rayon vecteur issu de Toriginc. Donc : Les perpendiculaires menées par les sommets d'un triangle circonscrit à une parabole, aux droites qui joignent ces sommets au foyer, passent par un même point ; et le cercle qui a pour diamètre le rayon vecteur mené du foyer à ce point passe par les sommets du triangle circonscrit. Par suite : Le lieu des foyers des paraboles inscrites dans un triangle est le cercle circonscrit à ce triangle ( 223, Cor. IV ).

Le lieu du pied des perpendiculaires (ou des obliques également inclinées sur les tangentes) abaissées du foyer d'une ellipse ou d'une hyperbole sur les tangentes est un cercle.

Si par un point on mène des rayons vecteurs à un cercle, l'en- Veloppedes perpendiculaires élevées à ces rayons par leurs extrémités (ou des droites également inclinées sur ces rayons) est une conique qui*a le point fixe pour foyer.

310. Les théorèmes relatifs à la grandeur des lignes passant par l'origine peuvent se transformer au moyen du premier théorème énoncé au n® 307. Prenons un exemple.

La somme (ou la différence si l'origine est en dehors du cercle) des distances de l'origine à deux tangentes parallèles est constante et égale au diamètre du cercle,

A deux parallèles correspondent deux points situés sur une droite passant par l'origine ; donc : La somme des inverses des segments des cordes focales d*une ellipse est constante.

D'ailleurs (193, Ex. 1) cette somme est égale à quatre fois l'inverse du paramètre, et comme elle ne dépend que du rayon

4oO CHAPITRE XV.

du cercle et non de sa posilion , les courbes réciproques de cercles égaux prises par rapport à une origine quelconque ont toutes le même paramètre.

Le produit des segments des cordes menées dans le cercle par Torigine est constant.

Le produit des dislances du foyer à deux tangentes parallèles est constant.

Donc : La tangente menée par l'origine à un cercle est égale au demi-axe conjugué de Thyperbole réciproque.

Le théorème : La somme des rayons vecteurs menés d'un point de l'ellipse aux foyers est constante, peut s'énoncer de la manière suivante :

La somme des distances du fover aux points de contact des tangentes parallèles est constante.

Dans un cercle la somme des inverses des distances d*un point intérieur aux deux tangentes; dont la corde de contact pas.ï>e par ce point, est constante.

311. Un certain nombre d'expressions relatives à la grandeur des lignes ne passant pas par l'origine peuvent se transformer au moyen du théorème du n" 101.

Par exemple, lorsque PA, PB, PC, PI) représentent les distances d'un point d'une conique aux côtés d'un quadrilatère inscrit, on a la relation

PA.PCi^r/r.PB.PD,

qui peut se mettre sous la forme, 0 étant l'origine,