PA PC , PB PD

OP OP

Si l'on désigne par a, b, c, d les points correspondant aux droites A, B, C, D et par ap la distance du point a à la droite correspondant à P, on a, d'après le théorème n° 101,

Pk ap OP""Ôâ'

et de même pour les autres côtés; d'ailleurs Oa, 06, Oc, 0^ sont constants. Donc : Dans tout quadrilatjèi^ circonscrit à

une conique le produit des distances de deux sommets opposés à une tangente quelconque est dans un rapport constant avec le produit des distances des deux autres sommets à la même tangente.

Le produit des distances d*un point d'une coniaue à deux tangentes fixes est dans un rapport «onstant avec le carré de sa distance à leur corde de contact (i59).

Le produit des distances de deux points fixes d'une conique à une tangente variable est dans un rapport constant avec le carré de la distance à c^îtte tangente de l'i niersection des tangentes aux deux points fixes.

Lorsque roriglne est prise sur la corde de contact, le lliéorème réciproque est le suivant : Le produit des segments déterminés sur deux tangentes fixes et parallèles par une tangente variable est constant.

Le produit des dislances de deux points fixes (les foyers) à une tangente est constant.

Le carré de la distance d*un point fixera un point d*nne conique est dans un rappojrt constant avec le produit des distances de ce dernier point à deux droites fixes.

En général, on peut toujours transformer la relation qui existe entre les distances PA, PB,... d'un point variable P à des droites fixes, lorsqu'elle est homogène, et en déduire une relation entre les distances ap, bp',. . . des points fixes a, 6, . . • à une droite variable, ces points et celte droite correspondant respectivement aux droites fixes et au point variable P. 11 suffit, pour cela, de diviser la première expression par une puissance déterminée de la distance OP de l'origine 0 au point P, et de remplacer dans le résultat, d'après les indications du

PA ap n** 101, chaque terme ^r^ par 7:^ .

Ur K)a

On peut donc, en suivant celle méthode, transformer une

équation relative à des coordonnées trilinéaires, puisqu'elle

exprime une relation homogène entre les dislances d'un point

à trois droites fixes, et en déduire une relation enlre les dis-

4o2 CHAPITRE XV*

lances X, //., v de irois points fixes à une tangente de la courbe réciproque, relation qui peut être considérée comme une espèce d'équation tangentielle de celle courbe (*). L'équation générale d'une conique en coordonnées irilinéaires devient^ par celte iransformalion,

X' , a* V* j, txv vk , 'ku.

p, p', p" désignant les dislances de Torigine aux sommcis du nouveau Iriangle de référence. De même, à la conique définie par réquaiion homogène du deuxième degré

entre les dislances 1, [x et v, correspond une courbe réciproquequi a pour équation en coordonnées irilinéaires

a" p'2 y/2 ^fy' yl^ ^f{^l

cl\ P', y' représeniani les coordonnées irilinéaires de l'origine.

EXERCICES

I. Dans une conique définie par un foyer et un triangle circonscrit,. les distances p, p', p" des sommets du triangle à une tangente quelconque vérifient la relation

i-sinO-f-£-sinO'-h^ sinO"= o,

dans laquelle 0, G', G" représentent les angles sous lesquels les côtés du^ triangle sont vus du foyer.

Cette relation peut se déduire de l'équation trilinéaire du cercle circonscrit au triangle dont elle est la réciproque. Lorsque le foyer coïncide avec le centre du cercle inscrit, on a

9 rrz 90° -h J^A, psinJA=r,

et l'équation tangentielle (dans ce système particulier) du cercle inscrit

devient

pi» cotang^A -h v). colang^B -h V cotang-JC = o.

(*} Voir à la fin de ce volume la Note relative aux équations tangentielleft^

En y remplaçant successivement deux des colangont(^s par des taiigentes, on obtient les équations des cercles exinscrits.

II. Dans une conique définie par un foyer et un triangle inscrit , les distances des sommets du triangle à une tangente satisfont à la relation

siniOi /- -hsin^O'â /^,H-8injO'' 4 /— = 0.

L*équation tangentielle du cercle circonscrit prend alors la forme

sinA v^A -h sinB y/jÂ -h sinC y/v. — o.

m. La conique définie par un foyer et trois tangentes a pour équation trilinéaire

ôy/j^sinoyi^-sinoy^^^o,

comme on peut le voir en formant la réciproque de Téqualion trouver plus haut pour le cercle circonscrit.

IV. On trouve de môme, en partant des résultats obtenus à l'Exercice I, pour l'équation trilinéaire de la conique définie par un foyer et trois points,

— tang^O-+- 4- tanglô'H- -^Ungiô"^ o.

312. Un très-grand nombre de propositions relatives ù la grandeur des lignes peuvent se ramener à des théorèmes concernant des droites divisées harmoniquemenl ou anharmoniquementy et par suite être transformées au moyen du principe suivant :

À quatre points en ligne droite correspondent quatre droites concourantes, et le rapport anharmonique du faisceau quelles forment est égal à celui des quatre points.

Ce principe est évident, puisque chaque droite du faisceau mené par l'origine aux points donnés est perpendiculaire à Tune des droites correspondant à ces points. Les propriétés anharmoniques des coniques en général peuvent ainsi se déduire de celles du cercle.

4o4 CHAPITRE XY.

Le rapport anharmoniqne du faisceau formé en joignant quatre points fixes d'une conique à un quelconque de ses points est constant.

Le rapport anharmonique des quatre points suivant lesquels une tangente variable à une conique est divisée par quatre tangentes fixes est constant.

Le premierde ces théorèmes est vrai pour le cercle, puisque tous les angles du faisceau sont constants; doncle second est vrai pour toutes les coniques; le second théorème est vrai pour le cercle, puisque les angles au centre correspondant aux quatre segments sont constants; donc le premier est vrai pour toutes les coniques. En cherchant les angles qui, dans la figure réciproque, correspondent aux angles constants dans le cas du cercle, on voit que les angles sous lesquels les quatre segments de la tangente variable sont vus du foyer sont constants, et que le faisceau inscrit détermine sur la directrice quatre segments vus du foyer sous des angles constants.

313. Le rapport anharmonique des points d'une droite n*esi pas la seule relation concernant la grandeur des lignes qui puisse être exprimée en fonction des angles formés par le faisceau qui joint ces points à un point fixe 0, et, par suite, subsister pour toute transversale qui rencontre le faisceau. Toute relation entre des distances, qui pourra, en y remplaçant

,. ,, .w^ , . , OA.OB.sinAoB ^„^, ^ chacune d elles AB par la quantité r^ (56), être

ramenée à une relation entre les sinus des angles sous lesquels ces distances sont vues d'un point donné 0, sera dans le même cas, et donnera lieu à un théorème réciproque en prenant le point 0 pour origine. Ainsi le théorème du n° 148 conduit immédiatement au théorème suivant dû à Carnol :

Lorsqu'une conique rencontre respectivement les côtés AB, BC et AC (Vun triangle ABC en c et c\ a et a' y h et i' , on a la relation

Ar'.Ar\B^.B^\Cft.C//

Afr.A^'.BcTBc'.Ca.Cfl' ' ''

Celle relation est telle, en effet, qu'on peut y remplacer chaque

MÉTHODE DBS POLAIRES RfiCIPROQUBS. 4^^

ligne Ac par le sinus de l'angle AOcr, sous lequel elle est vue d'un point fixe. Le théorème réciproque a été donné au n°295«

314. Ajoutons ici quelques considérations générales sur les coniques réciproques, en étendant à toutes les coniques le théorème du n"* 308 : La courbe réciproque d'un cercle est une ellipse, une hyperbole ou une parabole, suivant que l'origine est située en dedans, en dehors du cercle ou sur la circonférence. 11 est évident que, plus un point ou une droite sont rapprochés de l'origine, plus la droite ou le point correspondant en sont éloignés; lorsqu'une droite passe par l'origine, le point correspondant est à l'infîni, et la droite correspondant à l'origine est elle-même à l'infmi. Donc, à deux tangentes menées à une courbe par l'origine correspondent deux points à l'inOni de la courbe réciproque. Par suite, si par l'origine on peut mener à la courbe deux tangentes réelles, la réciproque a deux points réels à l'infmi, c'est une hyperbole; lorsque les tangentes menées par l'origine sont imaginaires, la réciproque, qui a deux points imaginaires à l'infmi, est une çllipse ; enfin, quand l'origine est sur la courbe, les deux tangentes réelles coïncident, il en est de même des points à l'infmi, et la réciproque est une parabole. La droite à l'infini correspondant à l'origine, on voit que, si l'origine est un point de la courbe, la ligne à l'inOni est tangente à la courbe réciproque; ce qui nous conduit encore à ce théorème (254.) : Toutes les paraboles ont une tangente à l* infini,

315. Aux points de contact de deux tangentes menées par l'origine correspondent les tangentes menées à la réciproque par les points situés à l'infmi, c'est-à-dire ses asymptotes. L'excentricité de l'hyperbole réciproque ne dépendant que de l'angle compris entre ses asymptotes, dépend uniquement, par suite, de l'angle compris entre les tangentes menées par l'origine à la courbe primitive.

L'intersection des asymptotes de la courbe réciproque ( c'està-dire le centre de la courbe) correspond à la corde de contact des tangentes menées par T^rigine à la courbe primitive. Ce

4oÔ CHAPITRE XV.

théorème comprend, comme cas particulier, le suivant, que nous avons déjà démontré : Au centre du cercle correspond la directrice de la conique réciproque, puisque la directrice est la polaire de Torigine, qui est le foyer de la conique.

EXERCICES

I. La réciproque d'une parabole par rapport à un point de la directrice est une hyperbole équilalère [voir n® 211 ).

IL Prouver que les théorèmes suivants sont réciproques :

Les hauteurs du triangle circon- Les hauteurs du triangle inscrit scrit à une parabole se coupent sur dans une hyperbole équilalère se la directrice. ; coupent sur la courbe.

UL Déduire le théorème précédent du théorème de Pascal (268, Ex. 111).

IV. Les axes tie la courbe réciproque sont respectivement parallèles à la tangente et à la normale menées par Torigine à une conique qui passe par cette origine, et a mêmes foyers que la courbe primitive.

En effet, les axes de la courbe réciproque doivent être parallèles aux bissectrices extérieure et intérieure de l'angle que forment les tangentes menées par Torigine à la courbe primitive. Pour achever la démonstration se reporter au n® 189.

316. On peut toujours placer l'origine de telle sorte que les coniques réciproques, par rapport à cette origine, de deux cercles donnés soient homofocales. En effet, les réciproques des cercles ayant un foyer commun, Torigine, il suffit, pour que l'autre foyer soit aussi commun, qu'elles aient même centre, c'est-à-dire que la polaire de l'origine soit la même par rapport aux deux cercles; par suite, que celte origine coïncide avec un des points déterminés au n° 111. Donc :

En prenant un des points limites pour origine^ à un système de cercles ayant même axe radical (iOd) correspond comme réciproque un système de coniques homofocales.

On verrait de même que les réciproques de deux coniques sont concentriques lorsque J'origine est un des trois

MfiTBODE DES POLAIRES RÉCIPROQUES. ^O']

points (282) ayant même polaire par rapport aux courbes primitives.

Les coniques homofocales sô cou- | La tiingente commune à dcu\

pent à angle droit (188). cercles est vue sous un angle droit

I de chacun des points limites.

Les tangentes menées par un point Lessegmenls interceptés par deux

à deux coniques homofocales sont . cercles sur une sécante sont vus

également inclinéeâ l'une sur l'autre sous des angles égaux de chacun

(i89). ' des points limites.

Le Heu du pôle d'une droite fixe La polaire d'un point fixe par

par rapport à une série de coniques rapport à une série de cercles ayant

homofocales est une perpendicu- môme axe radical passe par un point

laire à la droite fixe (220, Ex. III). fixe, et la droite qui joint les deux

, points fixes est vue sous un angle droit.de chacun des points limites.

317. La méthode des polaires réciproques fournil une solution simple de ce problème : Décrire un cercle langent à trois cercjes donnés. Le lieu des centres des cercles tangents à deux cercles donnés (i) et (2) est évidemment une hyperbole, puisque c'est le lieu du sommet d'un triangle dans lequel on connaît un des côtés et la différence des deux autres. Les polaires de ces centres (308), par rapport à un des cercles donnés (i), enveloppent un cercle (o) qu'il est facile de conslruire. De même, les polaires par rapport à (i ), des centres des cercles tangents à (i) et (3), enveloppent un cercle (o'); par suite, le pôle, par rapport à (1), de la tangente commune à (o) et (o'), est le centre du cercle tangent aux trois cercles donnés.

318. Trouver r équation de la réciproque d'une conique par rapport à son centre.

La longueur p de la perpendiculaire abaissée du centre sur la tangente a pour valeur

p*i=a^cos»e + 6'sin»0 (178),

fl étant Tangle que cette perpendiculaire fait avec l'axe a. L'équation de la réciproque sera donc, en coordonnées po-

^oS CHAPITRE XY.

lairesy

k étant une constante; et, par suite, en cordonnées ordinaires.

La réciproque est donc une conique concentrique dont les axes sont les inverses des axes a et 6 de la conique primitive.

319. Trouver V équation de la réciproque d'une conique par rapport à un point quelconque {x\y').

La distance p d'un point [x\ y* ) à une tangente étant ( 178) h

p—-—z=i yJa'cos^O -^ ft=sin^9 — or'cosS — j^'sinô,

l'équation de la courbe réciproque sera

320. Déduire V équation de la réciproque y par rapport à un point (x', j' ), de V équation de cette réciproque par rapport à V origine.

Si P est la dislance de l'origine à une tangente, la dislance d'un autre point {x' yy') à cette tangente sera

P — or'cosO— j'sinô (34); ce qui donne, pour l'équation polaire du lieu,

— = T7 — x'cosO — r smy, p K -^

p et R étant les rayons vecteurs relatifs au point [x\ y') et à l'origine; on a, par suile.

k^ __ x'x -f- j^'j -f- k^ RcosO pcosQ

Il faut donc, dans l'équation delà réciproque donnée, rempla-

cer X eiy respectivement par

xx' -r-yy' -\'k^ xx' -^yy' -{- li^

Le résultat de cette substitution peut, du reste, s'obtenir simplement en mettant Téquation de la réciproque donnée sous la forme

Un -+- ««! H- u^^ -h ... — o,

dans laquelle on a désigné par Un les termes de degré n, par «»-, ceux de degré (n— i), et ainsi de suite. L'équation de la réciproque, par rapporta un point (j;',j'), devient ainsi

xx' -^yy' -hli^

et représente une courbe de même degré que la réciproque donnée.