Trouver la réciproque, par rapport au cercle

de la conique définie, par Inéquation générale,

La polaire, par rapport à l'auxiliaire, d'un point de la courbe réciproque est tangente à la courbe donnée. Nous trouverons donc l'équalion de la réciproque en écrivant que la polaire

xx' -{-yy' — h^

Ae(x',y'), est tangente à la conique donnée, c'est-à-dire en remplaçant, dans l'équation langeniielle (151) de cette conique, X, u et V par x\ y\ — /f^ On trouve ainsi pour la réciproque

kx^ -+- rillxy -4- B/' — nÙh^x — aF/r'j-h C/f* = o;

et on peut déduire de celte équation les diverses propriétés démontrées antérieurement. Ainsi, par exemple, si la conique donnée est une parabole, on a «6 — A»=:o, par suite C = o, et la réciproque passe par Torigine.

Si, pour plus de symétrie, nous avions remplacé /r* par — z^

4lO CHAPITRE XY.

et pris la réciproque par rapport à la courbe a:' -4- j* -4- ^» = o, nous aurions eu xx' 4- yy* •+- zz' pour la polaire, et Téquation de la réciproque aurait été obtenue en remplaçant, dans l'équation langentielle, X, /ji, v par x, j, z. La condition pour que la droite "kx -h ixy -h v z soit tangente aune courbe peut donc être considérée comme Téquation de la réciproque de cette courbe par rapport à ^' -f- j* -f- a* = o.

L'équation tangentielle du «'•'"* degré représente toujours une courbe de la n"** classe; car, si l'on suppose que Ix -h yLy -{- )f z passe par un point fixe, c'est-à-dire qu'on ail Ix' -{- iJL^ -hvz' = 0, en éliminant V entre cette équation el l'équation tangentielle donnée, on obtiendra une équation de degré n pour déterminer le rapport X : fz; par suite on pourra mener n tangentes par le point donné.

322. Nous terminerons ce Chapitre en indiquant une série de théorèmes pour la transformation desquels M. Chasles a proposé de prendre pour auxiliaire une parabole au lieu d'un cercle. Le principe suivant, énoncé au n" 211, permet en effet de transformer facilement des théorèmes relatifs à la grandeur deîi lignes mesurées parallèlement à une droite fixe.

Deux droites quelconques déterminent sur Taxe d'une piarabole un «egment de même grandeur que les perpendiculaires abaissées sur cet axe par les pôles de ces deux droites.

A deux tangentes à la courbe primitive, menées parallèlement à Taxe de la parabole, correspondent les deux points à l'infini de la courbe réciproque : par conséquent, la réciproque sera une hyperbole ou une ellipse, suivant que ces tangentes seront réelles ou imaginaires. Ce sera une parabole si l'axe passe par un point à l'infini de la courbe primitive.

Dans une conique, une tangente variable détermine sur deux tangentes parallèles des segments dont le produit est constant.

Aux deux points de contact des tangentes parallèles correspondent les asymptotes de l'hyperbole réciproque; aux intersections de ces tangentes parallèles avec la tangente variable correspondent des parallèles menées par un point aux asymptotes. On a donc les deux théorèmes suivants :

MÉTHODE DES POLAIRES RÉCirROQUES. ^H

Le produit des segments, que déterminent sur une droite Jixe les asymptotes et leurs parallèles menées par un point de ia courbe, est constant ;

Le rectangle construit sur les parallèles menées aux asymp^ iotes par un point de la courbe est constant.

Les cordes qui joignent deux points fixes de l*hyperbole à un point variable de celte courbe déterminent sur l'asymptote un segment de longueur constante (199, Ex. I).

Dans une parabole , les perpendiculaires menées à la tangente au sommet par les intersections d'une tangente variable avec deux tangentes fixes déterminent sur cette

tangente au sommet un segment de longueur constante.

Les applications de la méthode précédente sont «issez limilées.

4l2 CHAPITRE XVI.