AB.CD AD.BC
AB
se réduit en définitive à — ^-79 lorsque le point D s'éloigne à
l'inHui, parce qu'alors AD devient égal à — DC.
Lorsque la droite est divisée harmoniquemeni, le rapport anharmoniqueest égal à — i, et quand le point D s'éloigne
(*) La propriété fondamentale des faisceaux anharmoniques a été donnée par Pappus (i^/afA. Coll.^ VII, 129). Le mot ankarmonique est dû à M. Chaales. C'est, du reste, dans son Histoire de la Géométrie que nous avons puisé les principaux éléments de ce Chapitre, renvoyant pour de plus amples détails au Traité de Géométrie supérieure et au Traité des Sections coniques du même auteur. Le rapport anharmonique a été aussi étudié par Mobius dans sa Sta^ tique {Barjrcentrische Calcul, ^^^l) sous le nom de Doppelschnittsverhaltniss {Rapport des doubles segments).
PROPRIÉTÉS HilRXONIQURS ET A7(H4RMONIQUE9. 4'^
à l'infini, la distance AC se trouve divisée en B en deux parties égales.
324*. Appliquons ce qui précède au théorème du n"" 14-6 :
Lorsqu'une sécante OK, issue d'un point fixe 0, rencontre une conique en R', R" et la polaire de 0 en R, les points 0, R', R, ^^ forment une division harmonique,
I. Supposons R" à l'infini. La droite OR est alors divisée en deux parties égales en R' ; donc : Le segment de la droite menée par un point fixe parallèlement à l'asymptote d'une hyperbole (ou au diamètre d'une parabole ), compris entre le point fixe et la polaire de ce points est divisé par la courbe en deux parties égales (211 ).
II. Lorsque R s'éloigne à Tinfini, R' R" est divisé au point 0 en deux parties égales; donc : La corde menée par un point parallèlement à sa polaire est divisée par ce point en deux parties égales.
Si la polaire de 0 est à l'infini, toutes tes cordes qu'on peut mener par O rencontrent la polaire à l'infini, et par suite sont divisées au point 0 en deux parties égales. Ce point est donc le centre de la courbe, autrement dit : Le centre peut être considéré comme un point dont la polaire est à r infini {ilyk)*
III. Quand le point i\\e est à l'infini, toutes les droites qui passent par ce point sont parallèles et divisées en deux parties égales par la polaire du point fixe. Donc : Un diamètre d'une conique peut être considéré comme la polaire du point à l'infini oà ses ordonnées sont supposées concourir.
Celte conséquence peut aussi se déduire de l'équation delà polaire d'un point (x\r')
{ax -h hy -^ g) -^ { hx -f- by -^f)^,-]-?^'^ '^'^^ ~^ ^ = o{iA&).
En effet, quand (^', y') s'éloigne à l'infini sur la droite
y ' /i my:=nx, on a à la fois *^ ==— , x^(x>; par suite l'équation
de la polaire prend la forme
ni(ax -f- liy -h g) -i- n(hx -h bx +/) =o,
qui représente le diamètre conjugué de mjr= nx (141 ).
325. Développons encore le théorème du n° 146 : Les deux tangentes menées par un point fixe forment un faisceau harmonique avec une droite quelconque passant par ce point, et la droite qui joint au point fixe le pôle de la précédente.
Lorsqu'une des droites passant par le point fixe est un diamètre, l'autre est parallèle à son conjugué, et puisque la polaire d'un point pris sur un diamètre est parallèle au diamètre conjugué, le segment de la parallèle à la polaire du point fixe, compris entre les tangentes, est divisé en deux parties égales par le diamètre qui passe par le point fixe.
Quand le point fixe est le centre de la courbe, les tangentes sontlesasymptotes; donc : Lesasjrmptotes forment un faisceau harmonique avec deux diamètres conjugués quelconques, et la portion de tangente comprise entre les asymptotes est divisée par la courbe en deux parties égales (196).
326. La propriété anharmonique des points d'une conique (259) conduit à un très-grand nombre de théorèmes particuliers. £n effet, la position des quatre premiers. points sur la courbe étant arbitraire, un ou d'eux d'entre eux peuvent se trouver à l'infini; le cinquième point 0, sommet du faisceau, peut être à l'infini ou coïncider avec un des quatre premiers, comme dans le cas où l'une des lignes du faisceau devient tangente. De plus, le rapport anharmonique du faisceau se mesurant sur une transversale quelconque, on peut supposer cette transversale parallèle à une des lignes du faisceau, de manière à réduire le rapport anharmonique au simple rapport de deux quantités.
Les exercices suivants se rapportent au développement du théorème rappelé ci-dessus; nous nous bornerons souvent à indiquer les points qui déterminent les faisceaux et la droite sur laquelle on mesure le rapport, laissant au lecteur le soin
d'examiner plus coniplétement la manière dont chaque ihéorème particulier se déduit du théorème générai.
Nous emploierons l'abréviation ( 0, ABCD ) pour Indiquer le rapport anharmonique du faisceau OA, OB, OC, OD.
EXERCICES
lA, ABCD) = (B, ABCD).
Les rapports seront mesurés par les segments déterminas sur la droite CD (^g, g6). La corde CD rencontre en T et T' les tangentes
Fig.96.
menées en A, B, et en K leur corde de contact AB. Les rapports des faisceaux indiqués dans Ténoncé deviennent alors
TK.DC Kr . PC •TD.KC ~ KD.TC'
c'est-à-dire que si une corde CD rencontre en T et T' deux tangentes et en K leur corde de contact, on a la relation
KC.KT'.TD = KD.TK.rC.
(B faut avoir soin de prendre les points du faisceau dans les deux membres de Téquation, en suifant le même ordre : ainsi nous avons attribué à K le second rang dans le premier membre de Téquation, parce qu'il correspond à la ligne OB du faisceau
