IX. {«, ABoooo') = (ao',ABoooo

Les segments sont mesurés suivant les asymptotes; 0 étant le centre,, on a la relation

0« 0^' Ob ~ 0«''

qui exprime que le rectangle construit sur les parallèles menées aux asymptotes par un point de la courbe est constant. (Conformément à la remarque de l'Exercice I, nous avons interverti le deuxième rapport.)

327. Examinons quelques cas particuliers du théorème relatif à la propriété anharmonique des tangentes à une conique

EXERCICES

I. Celle propriété prend une forme très-simple lorsque la conique est une parabole, puisque cette courbe a toujours une de ses tangentes à l'infini (25i). Ainsi, dans une parabole, quand trois tangentes fixes

coupent une tangente variable aux points A, B et C [fi'^. 99). le rapport AB : AC est constant.

Si l'on fait coïncider sucessivement la tangente variable avec chacune

PROPBifiTÊS HARMOMIQUJIS BT ANHAftMONlQUBS. 4 19

des tangentes fixes, on obtient la relation

pQ W Qr

TP, QP. QR étant trois tangentes, ^, r, p leurs points de contact.

n. Deux des quatre tangentes fixes en A, B, C, D (Jîg. 100 ) à une ellipse ou à une hyperbole sont parallèles : la tangente variable coïncide successivement avec Tune des tangentes parallèles (en A et D).

Si les tangentes en B et C rencontrent respectivement en b et c, b' et c'

les tangentes A et D, les rapports anharmoniques sont, dans Tun et Tau Ire cas,

Plc ' D6''

et, par suite, le rectangle kb.X^b' est constant.

On voit ainsi, en partant de la propriété anharmonique des points d'une conique, que les droites OA, AD, qui joignent un point 0 de la courbe aux deux points A et D, déterminent sur les tangentes parallèles des points b et b' tels, que le rectangle A^.D^' est constant.

328. Nous donnerons ici quelques exemples des problèmes qu'on peut aisément résoudre au moyen des propriétés anharmoniques des coniques.

EXERaCES.

î. Trouver le lieu du sommet V d'un triangle dont les côtés pivotent autour de trois points fixes A, B, C, tandis que les deux autres sommets glissent sur deux droites fixes Oa^ Ob,

Supposons qu'on ait tracé (fig. 101) quatre de ces triangles, et soient aaUi'a^^ bb'b*b"* les diverses positions des sommets glissant sur les droites fixes. Les deux faisceaux (C, aa'a"a'"), (C, bb'b^'"] sont identiques: donc

(aaWa'")^- {bbVb'"),

4^0 GHàPITaE XVI.

(flû'rtV) désignant le rapport anharmonique des points a, n\ «", a"; par suite

et d'après la nature de la question