Lorsqu'un couple de points conjugués est donné par

l'équation

ax^ -f- ti/ix -h ft = G,

les coefficients de celle équation satisfont à la relation

A6H-Ba-2H/i = o (336).

Donc (332) : Deux points conjugués quelconques forment avec les foyers une division harmonique.

Ce théorème peut aussi se déduire de l'égalité

{aff'a'}={a'ff'a),

qui donne

af.a'f aTar

aa'.ff- a'a.ff'

OU

Les poinis a, a' divisent donc inlérieuremeni ou exlérieuremenl la dislance//*' des deux foyers en segments qui sont respectivement dans le même rapport.

Corollaire, — Lorsqu'un des foyers est à TinOni, l'autre foyer divise en deux parties égales la distance comprise entre deux poinis conjugués; la distance ab entre deux points quelconques du système est alors égale à la distance a'b^ de leurs points correspondants,

34.2. Deux couples de points déterminent un système en involution. Cela résulte de ce qu'en prenant arbitrairement deux couples de points

, ax^ + 2 Ax -h 6 r= G, a'x^ -+• ^h'x + 6' = o,

on peut toujours déterminer A, H, B par les équations

A6-f-Ba— 2HA = o, Aft'-f- B«' — 2HA' = o.

11 est facile de voir, comme au ï\° 333, qu'un couple quelconque de points formant avec les deux couples précédents un système en involation peut être représenté par une équation de la forme

(ax^^ nhx^b] -hX(û'^'-f- 7.h'x '■hb')=zOy

puisque les valeurs de A, H, B

2(aA' — a' h], ^{hb' — h'b), (ab' — a'b),

déterminées d'après les équations précédentes, satisfont à la relation

A(6 -h W) -h B{a-h la') — 2H(/i -h W) = o (* ).

(*) La condition pour que trois couples, de points aa:'-h aA-r -h * = o,

436 GflAPITRB XVI.

On a ainsi, pour déterminer les foyers du système défini par les deux couples de points donnés, l'équation

{ah' — a'fi)x^ -^ {ab' — a' b)x -^ {hb' — h'b) = o .

Cette équation peut se mettre sous une autre forme, en rendant homogènes, par l'introduction d'une nouvelle variable ^% les équations des couples de points, qui deviennent alors

U = ax^ -+■ 2 hxf -4- 6 j% V == a'x^ -h i li'xy 4- 6'^';

ce qui donne, pour déterminer les foyers,

rfU rfV rfU rfV dx dy dy dx

Les foyers du système défini parles deux couples de points a, a! \ b, V peuvent aussi se déduire de l'égalité

qui donne

{afba') = (a'fb'a), af.ba' a'f.b'a

a'f,ba af,b'a' d'où

af '.Vf :'.ab.ab'\a'b.a'b'\

le point^est alors déterminé par la condition de diviser intérieurement (ou extérieurement) la distance aa'^dans un rapport donné.

34.3. La relation entre les segments formés par six points en involution est la même que celle qui existe entre les sinus des angles correspondants formés en joignant ces six points à un point iWe (313). Donc :

Le faisceau formé enjoignant à un point fixe six points en

a'or'H- 2 A'jr -H b'=: o, «"j-'h- a/i''x -i- b" =^ o appartienncut à un même système en involution, s'obtient en c{jalant à zéro le déterminant

involution détermine sur une transi^ersale quelconque six points en involution,

La figure réciproque de six points en involution est un faisceau en involution,

La plupart des équations trouvées précédemment s'appliquent également aux droites issues d'un même point. Ainsi : un couple de droites a — [i^, a — p/(3 appartient à un faisceau en involution, lorsqu'on a

A // a' -4- II ( /ji-t- fx') -I- B = o ;

et les deux couples de droites

U irr «a» -h 2 AaP -4- 6^% V ~ a' a' -h a A' a^ H- b' ^^

déterminent un faisceau en involution qui a pour rayons focaux (c'est-à-dire aboutissant aux foyers de la division déterminée sur une transversale par le faisceau) les droites

(ah' — a'h)ix} -h (afc' — a'6)a|3 + { A6' — A'6)(3' =^ o, ou

rfa 6/(3 di^ da"""'

344. Les coniques passant par quatre points fixes déterminent sur une transversale un système de points en involution.

Prenons la transversale pour axe des x : S et S' étant deux des coniques considérées, S -f- ffS' en sera une troisième; et si Ton fait j = o dans les équations de ces coniques, on a, pour déterminer les points où elles coupent les transversales,

ax^ -f- 2gx -\- c = o, û'iP'-f- ig'x-h c' = 0, ax^-h igx -+- c -hl{a' x^ -h 'i-g'x -f- c-') = o;

le dernier couple forme avec les premiers un système en involution (342). On peut cncdre démontrer ce théorème de la manière suivante : a, fc, c, rf étant les quatre points fl xes [fig, i o4) et A, A' les points où la transversale A A' rencontre la courbe,

on a, d'après la propriété anharmonique des coniques,

{a, kdb\']=[c,Kdbk'); par suite, pour les points où A A' rencontre les rayons du

Fig. lo/j.

-al /d

faisceau,

(ACBA') = (AB'C'A') = (A'C'B'A).

Les points A, A' appartiennent donc au système en involution déterminé parles pointsB, B',C, C',oii la transversale rencontre les côtés du quadrilatère formé par les points fixes.

En formant le théorème réciproque du précédent, on voit que :

Les couples de tangentes menées par un point quelconque aux coniques inscrites dans un quadrilatère forment un faisceau en involution,

345. L.es diagonales ac, bd peuvent être considérées comme une conique passant par les quatre points fixes ; par suite, les côtés et les diagonales d'un quadrilatère déterminent sur une transversale un système de pointsB,B';C,C';D, D'en involution. Ce théorème (cas particulier du précédent) nous permet de trouver le point conjugué C d'un point G dans le système en involution déterminé par les couples de points BB', DD'. Il suffit pour cela, en prenant un point quelconque «, de mener les droites «B, al), aC et de construire le triangle bcd ayant ses sommets sur ces droites, et dont deux côtés passent par B' et D'; le troisième côté passera par C conjugué de C. On peut prendre le point a à Tinfini, et alors les droites aB, «D, rtC sont parallèles.

Si Ton suppose le point C à l'infini, on oblient de celle matiière le cenire du syslème. La consiruciion esl alors la suivanle : Mener par B,D deux parallèles B6, De; et par B',D' deux aulres parallèles D'6, B'c (dont la direction diffère de celle des premières); la droite bc passera par le centre du «yslème.

EXERCICES

I. Lorsque trois coniques sont circonscrites au même quadrilatère, la tangente commune à deux de ces coniques est divisée'harmoniqucment par la troisième.

Les points de contact de la tangente sont alors les foyers du système en involution.

IL La tangente menée par l'intersection des cordes communes de deux <!oniques à une de ces coniques est divisée harmoniquement par l'autre.

Les points D et D' [Jfg. io4 ) coïncident alors, et par suite se trouvent à un foyer.

IIL Lorsque deux coniques ont un double contact, ou un contact du troisième ordre, toute tangente à l'une est divisée harmoniquement par l'autre conique et la corde de contact.

Car alors les cordes communes coïncident, et le point où la transversale rencontre la corde de contact est un fover.

IV. Décrire une conique passant par quatre points r/, /;, r, r/, et tangents à une droite donnée CC

Le point de contact est un des foyers du système BB', CC, . . . , et peut être déterminé d'après les indications du n** 342. Le problème admet donc deux solutions.

V. Lorsqu'une parallèle à une asymptote rencontre en C la courbe cir-

<M)nscrile à un quadrilatère, et en nbcd les côtés de ce quadrilatère, on

a la relation

C^.Cc = Cb.Cfi,

puisque C est le centre du système.

VI. Résoudre les problèmes du n" 32C, en se basant sur la théorie de rinvolution.

Dans l'Exercice I, K est un foyer; dans l'Exercice II, T est aussi un foyer; dans l'Exercice IIÏ, T est un cenire, etc.

44<> CBAPITBE XTI.

VIÏ. Les segments d'une séc^nle compris entre une h\[M?rbj!c et les

a^ivroiitotes sont é«'aux.

Dan» ce cas un des fû\er6 du svsleme est à l'infini 3U, Cor.'.

mm *

3iC. Les coniques avant un triangle autopolaire a3y ccmmun déterminent sur les transi' ers al es menées par un des sommets a^ de ce triangle des systèmes en involution.

Les points d'inierseciion de la iransversaîe azz^hp avec une de CCS coniques «a^ -f- ^3' -h cf- = o, éianl donnés par

sont conjugués harmoniquemenl avec les points où celle iransversaîe rencontre ^ et y. Ainsi, en particulier, les coniques inscrites dans un quadrilatère déterminent un sNStème en involution sur la transversale menée par une des intersections des diagonales de ce quadrilatère (1^6, Ex. 111). Les points où celte transversale rencontre les deux autres diagonales sont les foyers, et ceux où elle rencontre les côtés opposés du quadrilatère sont des points conjugués.

EXERQCES.

L Lorsque deux coniques U et V louchent leurs tangentes communes A,B,C,D aux points a,b,c^dja\ b\c'^d', la deuxième corde d'intersection de V, avec la conique S menée par «, ^, c et tangente à D en d\ passe par les intersections respectives de A, B et C, avec bc^ ca et ab.

Soient «, S les points où V rencontre nb\ d'après ce qui précède, ab passant par l'intersection des diagonales de ABCD (203, Ex. II), <î, b et a. b appartiennent au système en involution dans lequel les points où ab rencontre C et D sont conjugués. D'ailleurs (345) les cordes communes à S et à V coupent ab en des points qui font partie du même système, déterminé par les points /?, b et a, p où S et V rencontrent ab^ Si donc D est une des cordes communes, l'autre passe par l'intersectioD de C avec ab.

II. Dans un triangle, on inscrit une ellipse tangente aux côtés A, B, C en leurs milieux a, /», c et un cercle touchant ces mêmes côtés en^',^',r; si la quatrième tangente D commune au cercle etàTellipse touche le cercle en d\ r/' est le point de contact du cercle inscrit avec le cercle mené par les milieux n^ b^ c des côtés.

D'après l'Exercice I, une conique menée par «, ^, c touche le cercle inscrit en r/' lorsqu'elle passe par les points de rencontre de ce cercle avec la droite qui joint les intersections respectives de A, B et C avec Ac, ca et ab. Dans le cas actuel, cette droite est à l'infini : donc la conique tangente est un cercle. Cette démonstration du théorème de Feuerbach (132, Ex. IV), comme cas particulier du précédent, est duo à M. W.-R. Harailton.

On peut construire*le point d' et la droite D sans tracer l'ellipse.

Les diagonales d'un quadrilatère inscrit et celles du quadrilatère circonscrit correspondant se coupent pn un même point; par suite les droites ab^ cd^ a'b', c'd' et celles qui joignent AD, BC; AC, BD passent par un même point.

Si donc a, p, 7 sont les sommets du triangle déterminé par les intersections de bc et b'c\ ca et c'a\ ab et a'b\ les droites rt'a, A'p, c'7 se coupent en d'.

En d'autres termes, le triangle a^y est homologue aux triangles abc^ a'b'c\ d et d' étant les centres d'homologie. De même les triangles apy et ABC sont homologues et ont la droite D pour axe d'homologie.

ii^ cHiPmi xTii.

MÉTHODE DES PKOJFjZTIONS

§ I. — Projections coMqies-

3Vt. ï^ m^hhocJe des projpciinns, donl nous allons donner un exposé succinci, permet de déduire d'un ihéorème donné ei r<^-.sireinl le ihéorême général auquel il se railache cl donl il n'esl qu'un cas parliculier. Sa supériorilé, comme insirumeni de recherche, ne saurait échapper au lecteur, qui a pu voir déjà tout le parti qu'on pouvait tirer de l'étude des théorèmes particuliers renfermés dans un énoncé général.

Les droites qui joignent tous les points d'une figure à un point 0 de l'espace forment un cône dont le point 0 est le sommet. La seciion de ce cône par un plan détermine une figure qui est la projection de la figure donnée. Le plan de la section s'appelle /?/a/i {le projection,

La droite qui joint un point A au sommet 0 rencontre le plan de projection en un point a qui est la projection du point A, donc :

Cn point se projette suivant an point.

En joignant tous les points d'une droite au sommet, on forme un plan qui rencontre le plan de projection suivant une droite, par suite :

(*) Ca'Mv. nn'tho.lo a i'U: iiiiarriiiôe par PoqcoU't, qui Ta oiposée dans son Traite des Propriétés prnjectives des fi'^ures^ publié en 182a cl réédité et i8()3 {'>. vol. \\\-f\ ; ParÎH, (louthier-Villars;. Dans cet Ouvraj^o, qui peut être considéré comme le point de départ de la Géométrie moderne, se trouvent développés les principes suivants : Ix*s théorèmes relatifs à des points à Tinfini peuvent s'étendre à des points situés il une distance fmic sur une droite; les théorèmes se rapportant ii de« systèmes de cercles s'appliquent à des coniques ayant deux points communs; enfin, les théorèmes relatifs à des points et à des droites ima- (binaires peuvent s'étendre h des droites et à des points rc>els.

Une droite se projette toujours suivant une droite.

Lors donc qu'un certain nombre de points d'une figure se trouvent en ligne droite, les points qui leur correspondent dans la projection sont aussi en ligne droite; et lorsque plusieurs droites passent par un même point, leurs projections passent aussi par un même point.

348. Une courbe plane se projette suivant une courbe de même degré.

Lorsqu'une courbe donnée est coupée par une droite en un certain nombre de points A, B, C, D, . . . , sa projection rencontre la projection de la droite suivant le même nombre de points a, b, c, rf,... correspondant aux premiers : la courbe et sa projection sont donc' de même degré, puisque, géométriquement, le degré d'une courbe se détermine par le nombre de points suivant lesquels elle peut être rencontrée par une droite. Lorsque AB coupe la courbe en des points réels et imaginaires, ab rencontre la projection suivant le même nombre de points réels et le même nombre de points imaginaires. Lorsque deux courbes se coupent, leurs projections se coupent suivant le même nombre de points; et à un point réel ou imaginaire de l'intersection des courbes correspond toujours un point réel ou imaginaire de l'intersection des projections.

La corde AB d'une courbe se projette suivant la droite ab qui joint les points correspondants de la projection. Lorsque A et B coïncident, il en est de même de « et 6; par suite :

La projection de la tangente à une courbe est tangente à la projection de cette courbe.

Plus généralement, lorsque deux courbes se touchent en un certain nombre de points, leurs projections se touchent suivant le même nombre de points.

349. Lorsque le plan mené parle sommet du cône parallèlement au plan de projection rencontre suivant la droite AB le plan de la figure primitive, tout faisceau de droites ayant

444 CHAPITRE XYII.

son sommet sur AB se projette suivant un système de droites parallèles. En effet, la droite menée du sommet à un point quelconque de AB rencontre le plan de projection de Tinfini. Réciproquement, un système de droites parallèles se projette suivant un faisceau de droites ayant son sommet sur la droite DF intersection du plan de projection avec le plan mené par le sommet parallèlement au plan de la figure primitive.

Les droites parallèles peuvent donc être considérées comme passant par un même point à Tinfini, puisque leurs projections passent par un même point situé, en général, à une distance finie. De plus, tous les points à l'infini peuvent être considérés comme appartenant à une même droite, puisque la projection du point d'intersection des droites, parallèles se pro- ^ jette quelque part, sur la droite DE du plan de projection,

350. Toutes les propriétés descriptives d'une courbe, c'està-dire n'ayant rapport qu'à la position des points ou des lignes, indépendamment de toute condition de grandeur de lignes oïl d'angles, subsistent pour toutes les courbes suivant lesquelles on peut la projeter. C'est ce qui arrive, par exemple, dans le cas du théorème suivant : les tangentes menées à un cercle par les extrémités des cordes issues d'un point fixe, se coupent sur une droite fixe. Ainsi, lorsque nous aurons démontré qu*un cercle peut toujours être considéré comme la projection d'une conique, nous pourrons, par là méthode des projections, étendre à toutes les sections coniques les propriétés des pôles et polaires dans le cercle. Le théorème de Pascal, celui de Brianchon sont relatifs à des propriétés du même genre; et en les démontrant dans le cas du cercle, on prouvera, par cela même, qu'ils s'appliquent à toutes les courbes du deuxième degré.

361. Les propriétés d'une figure qui subsistent dans sa projection portent le nom de propriétés projectives. En dehors des propriétés descriptives dont nous avons parlé au numéro précédent, il y a un certain nombre de propriétés métriques, c'est-à-dire relatives à la grandeur des lignes qui sont projec-

lives. Ainsi le rapport anharmonique ( ABCD) de quatre points situés en ligne droite est le même que celui (abcd) de leurs projections, puisqu'ils sont Tun et l'autre mesurés parle faisceau (0, ABCD), qui joint les points A, B, C, D au sommet 0 du cône. En général, si les distances mutuelles d'un certain nombre de points en ligne droite A, B, C, D, ..., vérifient une équation telle que

AB.CD.EF-h/r.AC.BE.DF-+-/.AD.CE.BF4-... = o,

dont chaque terme renferme le même nombre de points, quoique dans un ordre différent; celle équation exprime une propriété projeciive. En effet (311), si l'on y remplace AB, AC, . . . , par

OA.OB.sinAOB OA.OC.sinAOC

ÔP ' OP '*"'

OP étant la distance du sommet à la droite, chacun de ses termes contient OA.OB.OC.OD.OE.OF au numérateur et

OP au dénominateur; et en supprimant ces facteurs communs on obtient une relation entre les sinus des angles formés au point 0. Il n'est pas même nécessaire que les points A, B, C, D, E, F soient en ligne droite pour que l'équation ci-dessus exprime une propriété projeciive; il suffit qu'ils soient pris de telle sorte, qu'après la subsliiulion chacun des termes de l'équation contienne au dénominateur le même produit OP.OP'.OP", . . .. Ainsi à cette dernière catégorie se rattache le théorème suivant : Les droites menées d'un même point 0 aux sommets d'un triangle ABC rencontrent les côtés opposés en des points «, b, c tels que Ab.Bc.Ca=: Ac.Ba.Cb. Il suffit dès lors de le démontrer pour une projection quelconque du triangle. Si l'on suppose que le point G se projette à l'infini, AC, BC, Ce devienneut parallèles, et la relation précédente se réduit à l'équation

Ab,Bc = \c*Ba,

qu'il est facile de vérifier en construisant la figure.

352. De là résulte que, pour démontrer une propriété projeclive, il suffit de prouver qu'elle a lieu pour la figure la p/a5^//n/7/e, suivant laquelle on peut projeter la figure donnée.

Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de trouver les propriétés harmoniques du quadrilatère complet ABCD. Les côtés opposés se coupant en E, F, les diagonales en G, joignons tous les points de la figure à un point 0 de l'espace et prenons pour plan de projection un plan parallèle à OEF. La ligne £F se projettera à l'infini, et nous aurons un nouveau quadrilatère dont les côtés ab et ce/, ad et bc seront respectivement parallèles, puisqu'ils se rencontrent en des points e et/situés à l'infini. On voit donc que tout quadrilatère peut être projeté 5afVan^M/i/?ara//é^/<?gTamme;et comme les diagonales d'un parallélogramme se coupent mutuellement en deux parties égales, la diagonale ac est divisée harmoniquement en a, g-, c et au point où elle rencontre la ligne à l'infini ef. Donc la diagonale AB est divisée harmoniquement en A, G, G et au point où elle rencontre EF.

EXERCICE

Lorsque, dans deux triangles ABC, A'B'C les points d'intersection x\B et A'B', BC et B'C, CA et C'A' sont en ligne droite, les droites AA', BB', ce passent par un même point.

Si l'on projette à Tinfinila droite suivant laquelle AB, A'B',... se coupent, le théorème à démontrer se ramène au suivant : Lorsque deux triangles abc ^ a'b'c ont leurs côtés respectivement parallèles, les droites aa', bb\ ce' se coupent en un même point. -Celte dernière proposition est évidente, puisque na' et bb' divisent ce' dans le même rapport.

353. Afin de ne pas interrompre l'exposé des application.^ de la méthode des projections, nous renverrons à un autre paragraphe la démonstration des théorèmes suivants :

Une conique peut être considérée comme la projection d'un cercle.

On peut, par un choix convenable du sommet et du plan de projection, projeter une conique suivant un cercle de telle sorte qu'une droite de son plan se projette à l'injini.

Ces théorèmes conduisent aux propositions suivantes :

MÉTHODE DES PROJECTIOxNS. 44?

On peut projeter une conique suivant un cercle ayant pour centre la projection d'un point donné pris dans le plan de la conique. 11 suffit, pour cela, de faire la projeciion de lelle sorte que la polaire du point donné se projette à l'infini (loi).

On peut projeter deux coniques situées dans un même plan suii^ant deux cercles. On n*a qu'à projeter Tune d'elles suivant un cercle, de telle façon qu'une de leurs cordes d'intersection se projette à l'infini; car alors (257) la projection de la seconde conique. passant par les mêmes points à l'infini que le cercle, sera aussi un cercle.

On peut projeter deux coniques ayant un double contact suivant deux cercles concentriques. Il suffit de projeter une des coniques suivant un cercle de telle manière que sa corde de contact avec l'autre se projette à l'infini (251).

354. Les exercices suivants serviront à montrer comment on peut déduire les propriétés des sections coniques, soit des propriétés du cercle, soit de cerlaines propriétés plus simples des coniques elles-mêmes.

EXERCICES

I. Toule sécante menée par un point est divisée harmopiqucment par la conique et la polaire de ce point.

Ce théorème et son réciproque sont relatifs à des propriétés projectives (351 ); ils sont vrais pour le cercle, ils sont donc vrais pour les coniques. Par suite, toutes les propriétés du cercle qui dépendent de la théorie des pôles et polaires subsistent pour les sections coniques.

II. Les propriétés anharmoniques des points et des tangentes à une conique sont des propriétés projectives, qui, ayant été démontrées dans le cas du cercle (312), sont, par cela môme, démontrées pour toutes les coniques.

m. Le théorème de Carnot (313) : lorsqu'une conique rencontre les côtés d'un triangle ABD en a, a\ b^ b\ r, c\ on a la relation

AA.AA'.Bc.Bc'.Cûf.Cri' = Af .Ac'.Bo.Bfl'.C^>.C^'

est une propriété projective qu'il suffit de prouver dans le cas du cercle. Mais alors elle est évidente, puisque

Ab,Xb' = Ac.Ar';...

448 CHAPITRE XYII.

On démontrerait de la mènie manière que ce tl)éorème subsiste pour un polygone quelconque.

IV. On peut déduire du théorème de Carnot les différents Ihéorèmes du n** lis, en supposant le point G à l'infini. Car on a alors

kb.kb' Bfl.Bflf'

Af.Ac'

les lignes kb Qiha étant parallèles.

V. Toute corde d'un cercle, tangente à un cercle concentrique, a son milieu au point de contact.

Bc.Bc'

Quand deux coniques ont un double contact, toute tangente à Tune est divisée harmoniquement par le point de contact, l'autre conique et la corde de contact (345, Ex. III).

La corde de contact des deux coniques n'est autre chose que la projection de la ligne à l'infini des deux cercles. Le théorème donné au n" 236, Ex. IV, est un cas particulier du précédent.