VI. Étant donnés trois cercles con

centriques, toute tangente à l'un est divisée par les deux autres en quatre points dont le rapport anharmonique est constant.

Étant données trois coniques ayant un double contact suivant la môme droite, toute tangente à l'une est divisée par les deux autres en quatre points dont le rapport anharmonique est constant.

Le premier théorème est évident , puisque les quatre longueurs sont constantes. Le second peut être considéré comme une extension de la propriété anharmonique des tangentes à une conique. De même, le théorème (276) relatif aux rapports anharmoniquës dans les coniques ayant un double contact s'obtient immédiatement en projetant les coniques suivant des cercles concentriques.

VII. Nous avons déjà dit qu'il suffisait de démontrer le théorème de Pascal pour le cas du cercle ; mais on peut, en s'appuyant sur le n** 353, simplifier encore la figure en supposant que la droite qui joint l'intersection de (AB, DE) à celle de (BC, EF) se projette à l'infini. Il suffit alors de démontrer que, si les côtés AB et DE d'un hexagone inscrit dans un cercle sont respectivement parallèles, il en estde môme des autres côtés CD et AF, démonstration qui ne demande que des considérations trèsélémentaires.

VIII. Un triangle est inscrit dans une conique, deux de ses côtés passent par deux points fixes : trouver Tenveloppe du troisième (272, Ex. III).

HÉTHOPB DBS PROJECTIONS. 449

Projetons la conique suivant un cercle, de manière que la droite qui joint les deux points fixes s'éloigne tout entière à Finfini ; le problème se ramène au suivant : un triangle est inscrit dans un cercle, deux de ses 4^tés sont parallèles à deux droites fixes : trouver Tenveloppe du troisième. Un des angles du triangle étant donné , Tenveloppe est un cercle concentrique : donc, dans le cas général, Tenveloppe est une conique ayant, avec la conique donnée, un double contact suivant la droite qui joint les points fixes.

IX. Déterminer les propriétés projectives d'un quadrilatère inscrit dans tine conique.

Projetons la conique suivant un cercle et le quadrilatère suivant un -parallélogramme (352). L'intersection des diagonales d'un parjllélogramme inscrit dans un cercle est le centre du cercle : donc Tinterseclion des diagonales du quadrilatère inscrit dans une conique est le pôle de la droite qui joint le.s intersections des côtés opposés. De plus, si par les sommets de ce parallélogramme on mène des tangentes au cercle, les diagonales du quadrilatère ainsi formé passent aussi par le centre, et sont les bissectrices des angles compris entre les premières diagonales : donc tes diagonales du quadrilatère inscrit et celles du quadrilatère circonscrit correspondant passent par un même point et forment un faisceau harmonique.

X. Le lieu des centres des coni- ■ques circonscrites à un quadrilatère est une conique passant par les mi- Jieux des côtés de ce quadrilatère ^328, Ex. XV).

XL Le lieu des points divisant <ians un rapport donné les cordes parallèles d'un cercle est une ellipse ayant un double contact avec ce cercle (163).

Le lieu des pôles d'une droife fixe, par rapport à une conique circonscrite à un quadrilatère, est une conique, qui rencontre chaque côté du quadrilatère en un point formant une division harmonique avec les extrémités de ce côté, et son intersection avec la droite fixe.

Si; par un point fixe 0, on mène une sécante rencontrant une conique en  et B, et qu'on prenne sur cette sécante un point P tel, que (OABP) soit constant, le lieu du point P est une conique ayant un double contact avec la conique donnée.

355. Nous allons appliquer la méthode des projections à plusieurs propriétés des foyers, en nous appuyant sur la défi-

45o CHAPITRE XVII.

nition que nous en avons donnée au n*' 279 et que nous rappelons ici. Lorsque le point F est le foyer d'une conique, les droites FA, FB, qui le joignent aux deux points imaginaires A et B, où le cercle rencontre la droite à Tinfini, sont tangentes à la conique.

I. Le lieu des centres des cercles tangents à deux cercles donnés est une hyperbole ayant pour foyers les centres des cercles donnés.

Étant données deux coniques S et S' passant par les points  et B, le lieu des pôles de AB par rapport à une conique tangente à S et S', et passant par A et B, est une conique tangente aux quatre droites CA, CB, C'A, C'B : C et C élant les pôles de AB par rapport à S et S'.

Le deuxième théorème a élé déduit du premier en remplaçant dans renoncé cercle par conique passant par deux points Jîxes A, B (257), et centre par pôle de la droite AB (154).

IL Le lieu des pôles d'une droite donnée par rapport aux coniques ayant un foyer commun et passant par deux points fixes de cette droite est une ligne droite (19i).

IIL Le lieu du deuxième foyer des coniques ayant deux tangentes et un foyer communs est une ligne droite (189).

IV. Le cercle circonscrit au triangle formé par trois tangentes à une parabole passe par le foyer (223, Cor. IV).

Le lieu des pôles d'une droite donnée par rapport aux coniques tangentes à deux droites et passant par deux points fixes pris sur la droite donnée est une ligne droite.

Le lieu de l'intersection des tangentes menées aux coniques inscrites dans un quadrilatère, par deux points pris sur deux des côtés de ce quadrilatère, est une ligne droite.

Les six sommets de deux triangles circonscrits à une conique sont sur une même conique.

En effet, le triangle FAB formé en joignant le foyer F aux deux points A et B du cercle situés à l'inlini est un second triangle circonscrit à la parabole.

V. Le lieu des centres des cercles passant par un point fîxe et tangents

Étant donnée une série de coniques circonscrites à un triangle

à une droite fixe est une parabole ayant pour foyer le point fixe.

VI. Le lieu des centres des coniques inscrites dans un quadrilatère est une droite passant par les milieux

des diagonales.

et tangentes à une droite fixe, le lieu de Tintersection des tangentes menées à ces coniques par deux des sommets du triangle est une conique inscrite dans le triangle.

Le lieu des pôles d'une droiio fixe par rapport aux coniques inscrites dans un quadrilatère est une droite qui rencontre les diagonales en des points conjugués harmoniques de leurs intersections avec la droite fixe.

Il résulte de la définition que nous avons donnée des foyers, que si deux coniques ont un foyer commun, ce foyer, qui est Tintersection de deux tangentes communes, jouit des propriétés énoncées à la fin du n° 264. De plus, deux coniques ayant même foyer et même directrice peuvent être considérées comme ayant un double contact , et peuvent être projetées suivant deux cercles concentriques.

356. Les angles qui sont constants dans une figure ne sont pas» en général, constants dans la projection de cette figure; mais aux propriétés relatives à la grandeur des angles dans la figure primitive correspondent, dans la projection, des propriétés que nous allons étudier, en commençant par le cas où certains angles de la figure primitive sont droits.

Soientx = o, ^= o les équations de deux droites se coupant à angles droits; la direction des points du cercle situés à l'infini étant donnée par x' -h/' = o, ou, ce qui revient au même, par