II. On change la direction des axes sans déplacer r origine
Soienl(^g^.6) Ox, 0/ les anciens axes; 0X> OY les nouveaux; OQ = x et PQ=:/ les coordonnées du point P par rapport aux anciens axes; ON = X, PN=Y les nouvelles coordonnées. Désignons par a et (3 les angles que OX et OY font respectivement avec l'ancien axe des x; par a' et p' les angles que ces droites font avec l'ancien axe des j. Si w est
DU pourr. 9
langle yOa: compris entre les anciens axes, nous aurons évidemment a -f- a'=oi, puisque \0x -h XOj= jtO/; ei de même
Fîg. 6.
Nous obtiendrons facilement les formules de transformation en exprimant en fonction des anciennes et des nouvelles coordonnées les longueurs des perpendiculaires abaissées du point P sur les axes primitifs. Pour cela, menons à Ox les perpendiculaires PM, NR, et la parallèle NS.
Nous avons
PM = PQ sin ^^, ou
PM = rsinto.
Mais
PM=:NR + PS=ONsinNOK + PNsin
donc
j^sinw = Xsina H- Ysin p.
Nous trouverions de même
ou
a: sin « =Xsina' H- Ysin P', ^sinû>=:Xsin(a) — a) -H Ysin (w — P).
Dans la Jlg. 6, les angles a, (3 et &> sont tous mesurés du même côté de 0^; et les angles a', ^' et u tous du môme côté de Ox '" si l'un de ces angles se trouvait de l'autre côté, on devrait lui donner le signe —. SI, par exemple, OY se trouvait à gauche de 0/, l'angle (3 serait plus grand que &>, ei 3'==((o — P) serait négatif, et par suite le coefficient de Y dans l'expression de xsino) le serait aussi; c'est ce qui arrive dans le cas suivant, qui se présente assez souvent, et auquel nous consacrerons une figure spéciale.
12 CHAPITRE PREMIEB.
ni. Transformer l'équation %x^— 5^^^BL= 4) prise par rapport à des axes faisant entre eux un angle de 6o^^^p, en prenant pour nouveaux axes les bissectrices des angles form^^ar les anciens.
RÉPONSE. X'— 27Y*-f^Bt= G.
IV. Transformer les mêmes équations en prenant de nouveaux axes rectangulaires et conservant ^^ème axe des x.
RÉPONSE. 3X' -h loY' - 7XY v/3 = 6.
y. Il est évident qu*en passant d'un système rectangulaire à un autre ayant même origine, on a toujours x'-+- j*= X*h- Y', puisque Tun et Taulre terme de cette équation représentent le carré de la distance d'un point à l'origine. Vérifier cette proposition en élevant au carré el ajoutant les valeurs de X et Y données au n° 9.
