VI. Vérifier de môme qu*on a, en général

X* -+- 7' -h a JT/ cosxOr =-- X' H- Y> H- aXY cos5cOV. Si l'on pose

Xsina -h Ysinp = L, X cosa h- Ycosp = M,

les formules du n** 9 peuvent s'écrire

^sinu = L, jrsinw = M sin&> — Lcosw; donc

sin*w(j"^-h^*-i- ax^cosw) = (L* h- M') sin'w. Mais

L*-+-M' = X'-h Y'4-2XYcos(a-p) et a - fi = 5^.

W. La transformation des coordonnées ne change pas le degré d'une équation existant entre les coordonnées d'un point.

La transformation ne peut augmenter le degré de l'équalion, puisque les termes j;", j", ..., du degré le plus élevé dans l'équation donnée, se trouvent n:mplacés dans l'équation transformée par les termes

[j;'sin«-hj:sin(&) — a)+jsin(&) — (3)]", {y sin û) + sin a. -h jsin p )",

qui ne contiennent pas jt: et ^ à un degré supérieur à m.

DU POINT. l3

La transformation ne peut pas non plus diminuer le degré de l'équation, car il faudrait alors que la transformation inrerse augmentât le degré de l'équation, ce qui esi impossible, comme on vient de le voir.^

§ III. — Coordonnées polaires.

12. On peut aussi déterminer la position d'un point P {Jig»g) par sa distance p = OP à un point fixe 0, et l'angle 6 que fait la droite OP, avec une droite fixe OB passant par le point 0.

La droite OP s'appelle alors ra^on vecteur; le point fixe est le pôie. La distance p et l'angle 0 sont les coordonnées polaires du point P.

Il est facile de trouver la relation qui existe entre les coordonnées rectilignes x = OM, jr= PM d'un point P (7?g. lo),

et ses coordonnées polaires p = OP et 0 = POliJ, relatives à la même origine 0.

Fig. 10.

0 MX

I* Supposons que l'axe fixe soit l'axe des x; nous aurons

OP : PM : : sin PMO : sin POM ; représentant OP par p et l'angle POM par 6, il viendra

'' sino) Nous trouverions de même

sinoi)

l4 CHAPITRE PREMIER.

Si les coordonnées soni rectangulaires, ce qui est le cas le plus général, &> est égal à 90 degrés; les formules se simplifient alors et deviennent

^=zpcos9, jr^psinO,

2° Supposons que la droite fixe OB ne coïncide plus avec Taxe des x (Jig. n), et fasse avec lui un angle a; on aura alors

^=:Ô et ^Oà = B-CL,

et il suffira de remplacer 0 par 0 — a dans les formules précédentes.

Fig. 1 I .

Dans le cas des coordonnées rectangulaires, on aura

a:=:pcos(0 — a), 7 = psin(9 — a).

EXERCICES

I. Rapporter à des coordonnées polaires les équations suivantes, relatives à des coordonnées rectangulaires,

x* -h^* = 5/w.r, RÉPONSE f = 5//f cosô,

jo^ V* = a\

II. Rapporter à des coordonnées rectangulaires les équations suivantes relatives à des coordonnées polaires,

p^sinaô — rt^

f = «'cosaO,