IV. Deux coniques homofocales se coupent à angle droit

Lorsque deux coniques sont inscrites dans le môme quadrilatère, les deux tangentes menées par un de leurs points d'intersection divisent harmoniquement une diagonale quelconque de ce quadrilatère.

Ce théorème est un cas parliculior.du théorème réciproque de TExercice i du n^" 345.

Y. Le lieu des sommets des angles droits circonscrits à une conique à centre est un cercle.

Le lieu des sommets des angles circonscrits à une conique, et dont les cétés divisent harmoniquement une droite de longueur AB est une conique passant par les points A eUB.

Ce dernier théorème peut (146] encore s*énoncer de la manière suivante :

Le lieu d'un point 0 tel^ que la droite menée de ce point au pôle de AU passe par le point B, est une conique passant par les points A et B. On peut du reste le démontrer directement en prenant quatre positions de AO, et observant (297, Ex. II) que le rapport anharmonique des quatre droites AO est égal à celui des quatre droites correspondantes BO.

VI. Le lieu des sommets des angles droits circonscrits à la parabole est la directrice.

VIL Le cercle circonscrit à un triangle autopolaire par rapport à une hyperbole équilatère passe par le centre de la courbe (228, Ex. IV).

Si, dans l'Exercice précédent, la droito AB est tangente à la conique donnée, le lieu des points 0 est une droite qui passe par les points de contact des tangentes menées par A etB.

Les six sommets de deux triangles autopolaires par rapport à une conique sont situés sur une même conique.

Los asymptotes d'une hyperbole équilatère étant perpendiculaires, la droite à l'infini rencontre la courbe en deux points qui forment une division harmonique avec les deux points imaginaires A et B du cercle. Et comme le centre C est le pôle de AB, le triangle CÂB est autopolaire par rapport à l'hyperbole équilatère. D'où le théorème réciproque : Les six côtés de deux triangles autopolaires, par rapport à une conique, touchent une même conique.

VIII. Par un point d'une conique. Un faisceau harmonique a son

on mène deux cordes à angle droit; sommet sur une conique, deux de

la corde qui joint leurs extrémités ses rayons sont fixes : la corde qui

passe par un point fixe (181, Ex. n). joint les extrémités des autres

I rayons passe par un point fixe.

Autrement, étant donnés deux points r/, c d'une conique et un rapport harmonique (abcd)^ la corde bd passe par un point fixe qui se trouve à l'intersection des tangentes en a et c. Ce théorème peut se démontrer directement.

Soit R rintersection de ac avec 6r/, puisque (/?, abcd) est un faisceau harmonique, la tangente en a rencontre bd en un point qui forme avec b, r/ et K une division harmonique; il en est de môme de la tangente en c : donc bd passe par l'intersection des tangentes en a et en r. Comme cas particulier, nous ayons le théorème suivant :

Par un point fixe d'une conique, on mène deux cordes faisant des angles égaux avec une droite fixe; la corde qui joint leurs extrémités passe par un point fixe.

357. Les couples de droites menées par un point fixe, de telle sorte que les deux droites de chaque couple fassent des angles égaux avec une droite fixe, déterminent^ sur la droite à V infini f un système de points en involution dans lequel les points imaginaires et à V infini du cercle sont conjugués.

Ces couples déterminent évidemment, sur une droite quelconque, un système de points en involution dont les foyers se trouvent sur les bissectrices intérieure et extérieure communes à tous les couples. Les deux points à TinOni appartiennent à ce système, puisque ces bissectrices forment, avec les rayons qui correspondent à ces points, un faisceau harmonique.

Les tangentes menées par un point à un système de coniques homofocales font des angles égaux avec deux droites fixes (189).

Les tangentes menées par un point à un système de coniques inscrites dans le même quadrilatère déterminent sur une diagonale quelconque de ce quadrilatère un système de points en involution auquel les extrémités de celte diagonale appartiennent comme points conjugués (344).

MÉTHODE DBS PROJECTIONS. 4^5

358. Deux droites issues d'un point fixe et comprenant un 4ingle constant forment y avec les droites qui joignent ce point fixe aux points à l'infini du cercle y un faisceau dont le rapport anharmonique est constant.

Soient x z=o, yz=o les équations des deux droites comprenant un angle constant d, la direction des points à rinfinî <iu cercle sera donnée par la relation

x^ -^ y^ -hi xycos 6 = 0,

et si l'on décon^pose cette équation en ses deux facteurs, on voit (57) que le rapport anharmonique des quatre droites est constant lorsque 6 est constant.

EXERCICES

I. Le théorème relatif à Tégalité des angles inscrits dans un mémo segment de ci rconfi^. renée n'est, d'après ce qui précède, que l'énoncé par- (iculier de la propriété anharmonique de quatre points d'un cercle, dans le cas où deux d entre eux sont à l'inGni.

II. L'enveloppe de la corde d'une ironique, vue du foyer sous un angle constant, est une autre conique ayant même foyer et môme directrice que la conique donnée.

III. Le lieu décrit par le sommet d'un angle constant circonscrit à la parabole est une hyperbole ayant même foyer et même directrice.