IV. Par le foyer d'une conique

Par le point 0, on mène à une conique deux tangentes en T et T'; on prend sur la conique deux points A et B tels, que (0, ATBT') soit constant : Tenveloppe de BA est une conique tangente, en T et T', à la conique donnée.

On mène à une conique deux tangentes déterminant une division anharmonique donnée, sur un segment AB d'une tangente fixe : le lieu de l'intersection de ces deux tangentes est une conique qui toychelapremièreaux points de contact des tangentes menées par A et B.

Sur une tangente quelconque à

on mène des droites également in- une conique rencontrée en T, T' <!linées sur les tangentes; le lieu i et M par deux tangentes et une

456 CHAPITRK XTII.

des intersections des droites et des | droite 6xes, on prend nn point P tangentes est un cercle. tel, que (PIMT] soit constant; le

lieu du point P est une conique passant par les points d'intersections des tangentes fixes avec la droile fixe.

Le théorème qui suit n est qu*un cas particulier du précédent : Le liev du point où le segment déterminé sur une tangente variable par deux tangentes fixes est divisé dans un rapport constant, est une hyperbole dont les asymptotes sont parallèles aux tangentes fixes.

V. Le sommet P d'un angle constant TPO glisse sur un cercle, un de ses côtés OP passe par un point fixe 0, le deuxième côté TP enveloppe une conique ayant le point 0 pour foyer.

On donne le rapport anbarmonique d'un faisceau, trois de ses rayons tournent autour de trois points fixes A, B, C, tandis que son sommet glisse sur une conique passant par A et B; Fenveloppe du quatrième rayon est une conique tangente aux droites CA, CB.

Et comme cas particulier : Par un point quelconque P d*une conique on mène, à deux de ses points fixes A et B, deux cordes qui déterminent sur une droite fixe un segment variable ; 1 enveloppe de la droite PM, divisant ce segment dans un rapport donné, est une conique tangente aux parallèles menées par A et B à la droite fixe.

VL Le sommet P d'un angle constant TPO glisse sur une droite fixe; un de ses côtés passe par un point fixe 0 ; Tautre côté enveloppe une parabole ayant le point 0 pour foyer.

On donne le rapport anharmonique d'un faisceau; trois de se»

rayons passent par trois points fixes, tandis que son sommet glisse sur une droite fixe; le quatrième rayon enveloppe une conique inscrite dans le triangle formé par les points donnés.

359. Dans ce qui précède, nous avons exposé la méthode géométrique au moyen de laquelle on peut déduire les propriétés d'une figure de celles d'une autre figure corrélative, non pas comme au Chapitre XV (de manière à ce que les points de l'une correspondent aux tangentes de Tautre), mais de telle sorte que les points correspondent aux points et les tangentes aux tangentes.

L'analyse peut aussi conduire au même résullat.

Considérons deux triangles de référence ayant respectivement pour côtés a, b, cet a'» b', </; une même équation en coordonnées trilinéaires représentera deux courbes différentes, mais de même degré, suivant qu'on la considérera comme se rapportant au premier ou au second de ces triangles (* ); et les mêmes équations serviront, par une interprétation différente,

à établir les propriétés correspondantes des deux courbes.

Une droite d'un système correspond toujours à une droite de l'autre, sauf dans le cas de l'équation aa-h b^ -h cy =: o, qui représente une droite située à l'inOni par rapport au premier triangle et une droite située à une distance finie par rapport au second; de n^me, a'a -+-6'(î-f- c'y = o représente une droite à l'infini relativement au second et une droite située à une distance finie relativement au premier. Mais l'étude des coordonnées trilinéaires montre facilement comment il est possible de généraliser les théorèmes où il est question de droites à l'infini (278, Ex. II). Ainsi, pour obtenir le lieu des centrès des coniques inscrites ou circonscrites à un quadrilatère, il suffit de chercher le lieu du pôle de la droite à l'infini aa-hfcp-Hcy, et le même procédé peut servir à trouver le lieu du pôle d'une droite Xa + /:a|3'+ vy par rapport à des coniques assujetties aux mêmes conditions.

Le rapport anharmonique d'un faisceau P — A-P',P — /P',... ne dépend que des constantes /r, /,... (59), et reste constant lorsque les droites représentées par P et P' viennent à changer. Par suite, dans le mode de transformation que nous venons

(*) H est facile de voir que pour rapporter au premier triangle la courbe obtenue en interprétant l'équation par rapport au second triangle, il suffit de remplacer, dans l'équation donnée a, /3 et y par

/« •+- m j8 -H n y, l'a-i- m' fi -f- /l'y, Voc ■+■ m" fi -\- n'y ;

en représentant par /a + m/S + n*/ la droite correspondante à a, etc. Ou trouvera de plus amples renseignements au sujet de cette méthode de transformation dans la deuxième Partie de la Géométrie analytique de M. Salmon {Higher Plane Curves, Chap. VI).

458 CHAPITRE XYU.

d'indiquer, à un faisceau de qualre droites dans un système, correspond dans l'autre un faisceau ayant même rapport anharmonique; à quatre points en ligne droite correspondent quatre points ayant même rapport anharmonique.

Une équation S = o,qui représente un cercle dans le premier système, ne représente pas, en général, un cercle dans le second. Mais, puisque Téquation d'un cercle quelconque du premier peut se mettre sous la forme

S -h {ace -h i(3 -4- cy)(Xa + /[JL [3 -4- vy)=ro,

toutes les courbes du second système correspondant à des cercles du premier passent par les deux points communs àSetàaa-f-A(3-f- cy.

360. Nous sommes ainsi conduit, par une voie purement analytique, à un principe très-important découvert par Poncelet, qui en a donné des applications nombreuses dans son Traité des propriétés projectiles^ le principe de continuité. Ce principe, en vertu duquel les propriétés relatives à une figure dont les lignes et les points sont réels subsistent lorsqu'une partie de ces points ou de ces lignes devient imaginaire, se démontre plus facilement, du reste, par l'analyse que par la géométrie. Les procédés analytiques ne tiennent, en effet, aucun compte de la distinction si importante, en géométrie, du réel et de l'imaginaire. Ainsi, par exemple, le procédé employé au Chapitre XIV pour déterminer les propriétés du système de coniques représentées par des équations de la forme S r= /r aj3, S = ko} est toujours le même, que les points d'intersection de a et (3 avec S soient réels ou imaginaires.

D'une propriété donnée d'un système de cercles on ne peut déduire, par une projection réelle, qu'une propriété relative à un système de coniques passant par deux points imaginaires; tandis qu'il est impossible de démontrer cette dernière propriété, en partant de l'équation générale, sans la démontrer en même temps pour les coniques ayant deux points réels communs.

La méthode analytique de transformation indiquée au nu-

MÉTHODE BBS PEOJBCTIONS. . 4^9

méro précédent s'applique également lorsqu'à des points réels d'une figure on fait correspondre des points imaginaires de l'autre. Ainsi, par exemple, a' -h (3' = y] représente une courbe qui coupe la ligne y en des points imaginaires; mais,

si Ton remplace a, p par P ± Q v^— i , et y par R (P, Q, R désignant des droites], on obtient une nouvelle courbe qui est coupée en des points réels par la droite R correspondant à y. Toutefois, la méthode des projections présente d'assez grandes différences dans les applications, suivant qu'on I^ considère comme géométrique ou comme analytique. Dans la méthode géométrique, on déduit le théorème général d'un théorème particulier relatif soit au cercle, soit à un cas simple de la figure, théorème démonlré d'abord. Dans la méthode analytique, on démontre immédiatement le théorème général, et on en déduit ensuite les théorèmes particuliers, parce qu'au moyen de l'analyse il est aussi facile de démontrer un théorème général qu'un théorème particulier.

§ II. — Des sections planes du cône.

361 . Les sections faites dans un cône par des plans paral-^ lèles sont semblables.

Menons par le sommet 0 du cône des droites quelconques OA, OB, . . ., elles rencontreront les plans des sections en des points A, B,..., a, fr,... qui se correspondront deux à deux, ainsi queles rayons vecteurs AB,..., a6,.... Les deux triangles OAB, Oab sont semblables: le rapport de AB à aft, égal à celui de OA à Oa, est constant. Les rayons vecteurs d'une section sont donc, avec ceux qui leur correspondent dans l'autre, dans un rapport constant; par suite (233), les deux sections sont semblables.

Corollaire. — La section faite dans un cône à base circulaire par un plan parallèle à cette base est un cercle.

.Ce corollaire pourrait se démontrer diretement en prenant pour A et a les centres des cercles.

46o CBAPITRB XYll.

362. La section d'un cône à base circulaire est une ellipse^ une hyperbole ou une parabole.

Un cône à basé circulaire est droit lorsque la droite menée par le sommet au centre de la base est perpendiculaire à celte base, et alors cette droite s'appela ajce du cône.

Un cône est oblique lorsque celle droile esl oblique par rapport à la base.

Nogs déterminerons d'abord la nature des sections faites dans un cône droit.

Prenons pour plan de la figure le plan OAB conduit par l'axe OC du cône [Jig. io5) perpendiculairement à celuide la

section MS«N. 11 coupe le cône suivant les droites OA et OB, le plan sécant suivant MN, et la base ASB du cône suivant AB. L'intersection RS de la base avec le plan sécant est perpendiculaire au plan de la figure.

I* Considérons d'abord le cas où la droite MN rencontre les côtés OA et OB, comme il est indiqué dans la/rg^. io5, c'est-à-dire d'un même côté du sommet 0.

Le plan asb mené parallèlement à la base par un point s de la section coupe le plan de la figure suivant afr, le plan sécant suivant rs, et le cône suivant un cercle. On a, d'après un théorème connu,

RS' = AR.RB.

■ fiTHODB DBS PB0JBGTI0N9.

RS étant uue ordonnée du cercle; de inème

rs = ar. rb.

La comparaison des triangles semblables ARM et arM, RRN irN donne la proportion

par suite,

AR.RB:MR.RN::ar,rft:Mr.rN;

RS':r5'::MR.RN:Mr.rN.

Le carré d'une des ordonnées rs de la section est ainsi dans un rapport constant avec le rectangle des segments qu'elle détermine sur MN; cette section est donc une eliipse [ikdflll) ayant MN pour grand axe, et dont le petit axe 26 est donné par la proportion

46^:Mn'::Rs':MR.RN.

2*» La droite MN rencontre les deux droites OA, OB de part etd'autre du sommet (^^.106). En suivantlamème marche que

Fig. 106.

dans le cas précédent, on trouve que le carré de l'ordonnée rs est dans un rapport constant avec le rectangle Mr. rN des

462 CBAPITKB Xni.

segments qu'elle déirrmîne sur le prolongemcmi de la droite MN. Il est dès lors facile de voir que la section est une Arperbole se composant de deux branches opposées N*S, Mj'S'. 3*» La droite MNest parallèle à Tun des côtés OA [fig. 107). Dans ce cas :

AR = flr, RB:r6::RN:rN,

Fig. 107.

et comme

on a

-ar.rb,