RS :RN
Le carré de l'ordonnée esi donc, avec Tabscisse, dans un rapport constant; par suite, la section est une parabole (*).
{* ) Ceux qui H'occupèrent les premiers des sections coniques ne considéraient que le cas du cône droit coupé par un plan perpendiculaire à une de ses arêtes, c'est-à-dire en supposant la droite MN perpendiculaire à OB. Les sections coniques furent alors divisées en sections d'un cône rectangle, acutangle et obtusangle, et, d'après Eutochius, le commentateur d'Apollonius, on les appela : parabole, ellipse ou hyperbole, suivant que l'angle du cône était égal, inférieur ou supérieur à un angle droit. (Le passage entier d'Eutochius a été cité par M. Walton dans ses Problèmes, p. ^iS). Ce fut Apollonius qui montra le premier, que les trois sections pouvaient être obtenues dans un seul cône, et qui, suivant Pappus, leur donna le nom de parabole^ ellipse et hjrperbote, en se basant sur les raisons indiquées au n<> 194. L'autorité d'Ëutochius, qui vivait plus do cent ans après Pappus, n'est pas très-grande; cependant le nom de parabole était déjà employé par Archimède, qui écrivait avant Apol> lonius.
MSTHODB DSa PROJECTIONS. 4^3
363. Il 6Sl évident que les projections des tangenies au cercle en A et B sont tangentes en M et N à la section conique (348); dans le cas de la parabole, le point M et sa tangente s'éloignent à l'infini, ce qui nous conduit encore à cette conclusion : La parabole a une tangente iititèe tout entière à l'infini.
36b. Supposons maintenant que le cône soit oblique. Prenons pour plan de la figure le plan mené par OC perpendiculairement à lu baseAQS6(/g'. io8). Le plan sécant rencontrant
. Fie- loS.
cette base suivaniune droite QS, menons dans le cercle le diamètre LK de cette corde QS. Le plan LOK conduit par ce diamètre LK et le sommet 0 coupe le plan sécant en MN. La démonstration est dès lors analogue à celle que nous avons donnée pour la section tlu cône droit. On a, dans le cercle AB,
Ks' = LR.ItK.
On aurait de môme, dans un cercle parallèle mené par un point * de la section (afin d'éviter la complication, ce cercle n'a pas été représenté sur la figure),
/■* — Ir. rh.
La similitude des triangles KRM, AtM, LItN, /rN situés dans le plan LOK prouve, comme dans le cas où le cône est droit, que le rapport KS : rs des carrés des ordonnées de la section est le même que celui dos rectangles des segments qu'elles dé-
464 CHAPITRE ZTIl.
terminent sur la droite MN. La section est donc une conique dans laquelle MN est le diamètre correspondant à QS; ce sera une ellipse ou une hyperbole suivant que MN rencontrera les droites OL et OK d'un même côté ou de part et d'autre du sommet» et une parabole lorsque MN sera parallèle à Tune de CCS droites.
Dans cette démonstration, nous avons supposé que QS coupait le cercle en des points réels; s'il n'en était pas ainsi, il suffirait de prendre, au lieu du cercle AB, un autre cercle parallèle ab qui rencontrerait la courbe en des points réels.
365. Lorsqu'un plan sécant rencontre la base d'un cône circulaire suivant une droite QS, les diamètres conjugués à QS pris dans le cercle et dans la section se coupent sur QS.
Le théorème est évident quand la droite QS (devenant alors qs) rencontre le cercle en deux points réels, puisqu'aiors les deux diamètres conjugués passent par le milieu r de qs
Fig. 109.
(fig. 1 09). Reste à examiner le cas où les intersections de 55 et d u cercle cessent d'être réelles. Le diamètre df^ qui divise en deux parties égales les cordes parallèles à QS dans le cercle, se projette suivant un diamètre DF divisant en deux parties égales les cordes parallèles à qs dans un cercle parallèle au premier (361). Leiieu des milieux des cordes du cône parallèles à qs est donc un plan Odf. Par suite, le diamètre conjugué de QS dans une section quelconque est l'intersection du plan 0£[/*avec le plan
de celle seclion, el passe par le point R, irace de la droite QS sur ce plan Odf.
Les rectangles RD.RF et Rg-.R/r des segments RI), RF, Rg*, R k {Jig. 1 09 ) déterminés sur les diamètres conjugués à QS dans le cercle et la section par leur intersection R, sont entre eux dans le même rapport que les carrés des diamètres parallèle et conjugué à QS dans la seclion.
Lorsque qs renconire le cercle en des poinls réels, le ihéo-
rème esl évident, puisque rs = dr.rf. Nous avons dénjonlré, en général, que les droites gk, dfy DF étaient situées dans un plan mené par le sommet. Les points D et J sont donc les projections de g-, c'est-à-dire sont silués sur une droite passant par le sommet. Par suite, les triangles semblables (comme au numéro 36^) nous donnent
rfr./f:DR.RF::gr./*:gK.Rfr;
el puisque les rectangles dr.rf et gr.rk sont dans le môme rapport que les carrés des diamètres parallèles, il en esl de même dés rectangles DR.RF et g-R.R/r.
Ce théorème nous permet, élanl données la section gshq et la droite QS, de trouver DR.RF, c'est-à-dire le carré de la tangente menée du point R au cercle dont le plan passe par QS*.
366. On peut toujours projeter une conique gshq suivant un cercle, de telle sorte quune. droite TL située dans son plan et ne la coupant pas se projette à V infini»
Il suffit, pour démontrer ce théorème, de faire voir qu'on peut toujours trouver le sommel 0 d'un cône, ayant pour base la conique donnée et dont les sections parallèles au plan OÏL soient des cercles; car alors ces sections satisfont à la question. D'après le théorème précédent, la dislance OL, du sommet 0 à l'intersection L de TL avec son diamètre conjugué, est donnée, puisque le plan OTL rencontrant le cône suivant un
cercle infiniment petit, le rapport OL :gL. LA* esl le même que celui de deux diamètres connus de la seclion; d'ailleurs OL est situé dans le plan perpendiculaire à TL, puisqu'il est
466 CHAPITRE XYII.
parallèle au diamèlre du cercle perpendiculaire à TL. Rie» du reste ne limite la position de 0, qui doit se trouver sur une circonférence déterminée dans un plan mené par le point L perpendiculairement à TL. *
367. Lorsqu'une sphère A¥BD inscrite dans un cône droit AOB est tangente au plan d'une section MPN, le point de contact F est un foyer de cette section, et l'intersection du pian de la section et du plan de contact ADB de la sphère avec le cône est la directrice correspondante.
Inscrivons une deuxième sphère adb Y'{Jig, i lo) entre le plan de la section et le sommet 0 du cône : soient adb son plan de
Fij;. 110.
contact aver le cône et F' son point de contact avec la section. Joignons un point quelconque P de la section au sommet O; cette droite PO rencontre les plans de contact en D et rf. Les tangentes menées par un point à la sphère étant égales, on aura
PD=:PF, P(/=PF; par suite,
PF -h PF'=: PD -4- Prf = De? = constante.
Les points F et F' sont donc les foyers de la section.
Le point R, où FF' rencontre le prolongement de AB, appartient à la directrice, c'est-à-dire à la polaire de F, puisque^
d'après une propriété du cercle, N, F, M, R forment une division harmonique.
On démontrerait facilement que le paramètre de la section MPN est constant, lorsque la distance de son plan au sommet est constante.
Corollaire, — Le lieu des sommets de tous les cônes droits sur lesquels on peut placer une ellipse donnée est une hyperbole passant par les foyers de Fellipse. La différence MO — NO est, en effet, constante, puisqu'elle est égale à la différence
MF'-NF'C).
§ III. — Projections orthogonales.
368. On appelle projection orthogonale d'un point sur un pfan le pied de la perpendiculaire abaissée de ce point sur ce plan. La projection d'une figure quelconque est le lieu des projections de ses divers points; et il est facile de voir que la projection d'une droite est une droite, et que des droites parallèles se projettent suivant des droites parallèles, etc.
La projection orthogonale d'une figure n'est autre chose, du reste, que la section droite du cjrlindre diyaini cette figure pour directrice. Le plan de la section droite est le plan de projec^ tion.
(*) £n partant de ce principe, M. Mulcahy a indiqué une méthode pour déduire les propriétés des angles qui ont le foyer pour sommet de celles relatives aux petits cercles de la sphère. Transformons par cette méthode le théorème suivant : Si, par un point P de la sphère, on mène un grand cercle coupant un petit cercle en deux points A et R, le produit tang^ AP.tang^BP est constant. Prenons un cône ayant ce petit cercle pour i)ase, et le centre de la sphère pour sommet; en coupant ce cône par un plan, on voit que : Si par un point p pris dans le plan d'une conique, on mène une sécante qui rencontre la conique en a et 6, le produit des tangentes des moitiés des angles sous lesquels ap et bp sont vus du sommet du cône est constant. Cette propriété appartenant au sommet d'un cône droit, quelle que soit, du reste, la position du plan do la section faite dans ce cône, subsiste encore lorsque ce sommet coïncide avec le foyer de la section ; on retombe ainsi sur la relation connue
tangj a/p. tanQy hfp = const. (225, Ex. VIII).
La projection orthogonale MM' d'une droite est égale au produit de cette droite PQ par le cosinus de l'angle compris entre cette droite et sa projection (*).
Cela est évidenl, comme on peut le voir en se reportant à la Jig. 3, où MM' est la projection de PQ.
Corollaire I, — Le rapport entre des droites parallèles et leurs projections orthogonales est constant.
Corollaire II. — Les droites parallèles au plan de projection se projettent en vraie grandeur.
L'aire d' une Jlgure plane est dans un rapport constant avec
l'aire de sa projection orthogonale,
* Prenons les ordonnées de la figure perpendiculairement h
rintersection du plan de cette figure et du plan de projection;
les ordonnées de la projection seront perpendiculaires à cette
intersection; leur rapport avec celles de la figure sera constant
et égal à celui du cosinus de Tangle des plans à l'unité. Et on
sait (ce que nous prouverons au n® 394) que, lorsque deux
figures sont telles, que les ordonnées de Tune soient dans un
rapport constant avec les ordonnées de Tautre, les aires de ces
figures sont entre elles dans le même rapport.
Le cercle peut être considéré comme la projection orthogonale d'une ellipse.
Prenons pour plan de projection le plan conduit suivant une parallèle au petit axe de l'ellipse et faisant avec le plan de l'ellipse un angle dont le cosinus est égal à -; les droites parallèles
au petit axe se projettent en vraie grandeur, celles parallèles au grand axe sont diminuées dans le rapport de 6 à a; la projection de l'ellipse est donc (163) un cercle de rayon b.
369. Appliquons les principes précédents à la solution du problème donné dans l'Exercice VU du n" 231 : Trouver le
{*) Ou, ce qui revient au même, de l'angle fait par la droite avec le plan de projection.
MÉTHODE DES PROJfcCTIOISS. 4^9
rayon R du cercle circonscrit à un triangle inscrit dans une conique.
Soient a, |3, y les côtés du triangle, A son aire; la géométrie élémentaire fournit la relation
Si Ton projette l'ellipse suivant un cercle de rayon 6, et que Ton désigne par a', (3',y', A' les projections des côtés et de Taire du triangle, il vient
Mais, les droites parallèles étant dans un rapport constant avec leurs projections, on aura également
en représentant par b\ b",, 6*' les diamètres conjugués parallèles à a, ^, y.
Les aires A et A' sont liées d'ailleurs par la proportion (368)
Donc
Par suite,
^:^::ab^:k'b-'b-'.
ab
(*) Cette démonstration du théorème de Mac-Cullagh est due au IJ*" Graves.
ho
370. Nous avons démoniré (250) que lorsque S el S' représentent deux coniques, il y a trois valeurs de le pour lesquelles /rS -h S' représente un couple de droites. Soient
S =: ax^ -f- 6t'' -4- cz^ -4- '^fyz -h 2 gzx -4- 2 hxy*^= o, S' = a'x^ -h &y ' H- c'z' -f- 2/y -h ng'zx -4- 2 A'j;r =^ o
les équations des deux coniques, et
A = abc -h ^fgh — afj — ftg' — ch\ ùk'=:a'b'c' + -^fg'h'- a'f^'—h'g'^— c'h"
leurs discriminants. Ces valeurs de k sont données par Téqualion du troisième degré
obtenue en remplaçant, dans la relation A=:o, a, 6,... par a -h ka\ h -4- kb\, . . .
En effectuant les calculs on trouve pour 0 l'expression
(6c —p)a! -h (ca - g^)b' -^{ab — li')d
^ig'i - ^f)f + 2( A/~ 6g^)g^' 4- 7.{fg - c/i )//,
ou, en employant la notation du n" 151,
Xa' -h B6' -f- Ce' -f- 2F/ -h iGg' 4- 2 H A', ou bien, d'après le théorème de Taylor,
a -j~ -h b' -T.- 4- C' -j- -^f~T^. 4- g -j- 4- /l'-jT^"
c^a </6 de "^ dj ^ dg dix
On a d'ailleurs
comme on peut le voir, en permutant les accents dans l'expression de 0.
Si Ton élimine k entre Féqualion frS-f- S' = o, et celle du troisième degré en /f, Téquation résultante
AS'^ - 0S''S + 0'S'S' - A'S* = o,
qui est évidemment du sixième degré, représente les trois couples de droites qui joignent les quatre points d'inlerseclion des deux coniques (238 j.
EXERCICE
Trouver le lieu de rinterseclion des normales menées à une conique par les extrémités d'une corde qui tourne autour d'un point fixe (a, P).
L'équation de la conique étant S = — ^ -^ 'tj — i — o, les points dont
les normales se coupent en un point donné [x\ y') se trouvent à l'inler- «ection de S avec l'hyperbole, S' = 2 {c^xy ■+- b^y'x — (i^x'y) = o (181, Ex. I). Ce qui précède permet de former l'équation dos six cordes joignant les pieds des normales menées par [x\y')\ eten exprimant qu'elle est vérifiée par a, ^ on obtiendra l'équation du lieu cherché. D'ailleurs on a
^'= -là'b^c^x'y'.
Par suite, le lieu a pour équation
^(.i'?x~^^«j-.-^ap)'
-+- i[n^x''-^b^f--c')[a'^x-b'xy — r^'4](-^ -h ^ - iV
-+- la^b^c^xyy — -f- t, — i ) = oj
qui représente une courbe du troisième degré. Cette courbe se réduit à une conique lorsque le point donné est sur l'un des axes (ce qui revient k faire a = o dans l'équation précédente), et alors l'axe fait partie du lieu, comme on peut du reste le voir géométriquement. Elle se réduit encore
47^- CHAPITRE XVIir.
à une conique lorsque le point est situé à l'infini, c'est-à-dire lorsqu'on demande le lieu de Tinlersection des normales menées aux extrémités des cordes parallèles à une droite donnée.
371. Lorsqu'en passant d'un système d'axes de coordonnées (cartésiennes ou irilinéaires) à un autre, S et S' se transforment
en S et S', A-S -h S' devient évidemment AS -t-'S', et le coefficient k reste invariable. Les valeurs de k pour lesquelles /f S H- S' représente des lignes droites est donc indépendant des axes auxquels S et S' sont rapportés; par suite le rapport entre deux quelconques des coefficients de l'équation du troisième degré qui détermine k (370) est constant, quelle que soit la transformation que l'on ait fait subir aux axes (*).
Les quantités A, 0, 0', A' s'appellent, pour cette raison, les invariants du système des coniques S et S'. Si donc, après avoir ramené à leurs formes les plus simples les équations de deux coniques S et S', on arrive à une relation homogène entre A, 0, 0', A', on peut affirmer que la même relation subsiste, quelle que soit la position des axes de coordonnées» Il est dès lors possible d'exprimer, en fonction de ces quatre quantités, la condition nécessaire pour que deux coniques soient assujettiesà une relation indépendante du choix des axes.
Le^ exercices suivants sont relatifs au calcul des invariants dans quelques cas d'un emploi fréquent.
I. Calculer les invariants de deux coniques rapportées à leur triangle aulopolaire commun.
(•) Il est facile de voir, en efloctuaiit les calculs de transformation, que si dans S et S' on remplace jt, ^-j z par
ÎJC 4- mjr -4- « r, / 'x -i- m'y h- n'z, î ".r -h /«'^ -h «"z,
les quantités A, 6, 0', A', relatives aux nouveaux axes, se déduisent des quantités correspondantes relatives aux anciens, en les multipliant respectivement par le carré du déterminant
INVAEIÀNTS ET COVARtANTS DES SYSTÈMES DE C01<tIQUES. 4?^
Les équations des coniques sont alors
Si, pour simplifier, on y remplace x, j, z par x yjljî^ y }Jb\ z v/?, de manière à ramener S' à la forme x^-h r^-h z% elles deviennent
S = ax^-h by^-h cz^^ S' = x^-h y^ H- z% et on a
A = abc^ S = bc ~h ca -h ab, &' = a -h b -h c A' = i .
L'équation S-i-X'S'= o représente deux droites pour les valeurs de /• données par
X ' -h P(a -h b -h c) -h A (bc -h ca -h ab) -h abc = o ,
c'estnà-dire lorsque /• est égal à l'une des trois quantités —a, — bj — c,
IL S' représente, comme plus haut, x' -h j* -4- z' , et S l'équation générale ; calculer les invariants.
RÉP. e = {ôc-/^)-h(f«~^»)-h(fl^> — ^') = Ah-B-hC;'
m. Lorsque S et 'S' représentent les deux cercles jc'-h/'— /', (x^— a)'-^-(J— p)*— /*'*, on a pour les invariants
A = — ^^ e=^x^-i-p''-ir^—r'\ 0'= a*H- f'— r^— ar'*, A'= — /•".
Et si D est la distance des centres des deux cercles, S -+- XS' représente un couple de droites pour les valeurs de X vérifiant Téquation
Mais comme S — S^ représente deux droites (dont l'une est située à l'inlini), il est évident que — i est une des valeurs de X , et X- -1- i un diviseur du premier membre de Téquation. En effectuant le calcul, on a, pour déterminer les deux autres valeurs de X,
r^ H (r' -+- r'^- D')X -4- r'H' = o. IV. S représente la conique
474 CHAPITRE XVin.
S' le cercle
calculer les invariants.
V. s représentant la parabole/*— 4 '"-î^» S' le même cercle qu'à l'Exercice IV, on demande les invariants.
RÉPONSE
A=— 4/;/% 0== — 4/7/(a -t-/w), 9'= fi»- 4/wa — r», l'= — r^.
372. Trouver la condition pour que deux coniques S et S' soient tangentes.
Lorsque deux des quatre points d'intersection de deux coniques coïncident, il en est de même de deux des trois couples de cordes d'intersection, et Téquation du troisième degré
A/f' -I- Qk' -4- 07f + A' = o
admet deux racines égales; on a ainsi, pour exprimer que les deux coniques se touchent, la relation
