AA'.)^ = 4(0^ - 3A0')(0'' -- 3A

qui peut encore s'écrire de la manière suivante:

En se reportant à la théorie générale des équations, on voit que le premier membre est proportionnel au produit des carrés des différences des racines de Téquation en k. Cette équation a donc toutes ses racines réelles s'il est positif, et une seule s'il est négatif. Dans ce dernier cas ( voir n** 282 ), S et S' se coupent en deux points réels et deux points imaginaires, tandis que dans le premier S et S' se coupent en quatre points réels, ou quatre points imaginaires.

EXERCICES

I. Trouver par cette méthode la condition pour que deux cercles se touchent.

La condition pour que l'équation réduite

(371, Ex. III) ait ses racines égales est r' -h r'^ — D^ = ± irr\ ce qui donne la solution bien connue D = r =b r'.

II. Trouver le lieu décrit par le centre d'un cercle de rayon constant tangent à une conique donnée.

II suffit de remplacer dans l'équation de ce numéro les quantités À. 0, B', A' par leurs valeurs données au n° 371, Ex. IV et V, en considérant a et p comme les coordonnées courantes. Le lieu est en général du huitième degré, et se réduit au sixième dans le cas de la parabole. II est du reste le même que celui qu'on obtiendrait en prenant sur toutes les normales à la conique des longueurs égales au rayon r du cercle à partir do la conique.

On l'appelle quelquefois courbe parallèle ^\àQ>m\^^^ et il a même développée que cette conique.

La courbe parallèle à la parabole j'= l^mx a pour équation

— (r'— ^mx^\r'^ -^{x — my\= o a^

et la courbe parallèle à l'ellipse -7 "^ tt = ' ®st donnée par

-¥- 2C=(3«*— rt'^^-t- ^>V + ^'*- 6fl'^>*-h Ç»b')x' H- r^[-^a^b^c' [à" -H *') -h 2c»x'(3«* — a^b^ -f- b')

— rt'/*{6rt*— io«»é>»-h6^>«)

— 2(/i* — a'^b* -\- 3 b')x'x^- i[Za' — a'b' h- b')^^)'

-\- [6'x^ -h a^j ' - an^Y [(x - c)» -^ j'] [( x H- c)' 4-/'] =^ o.

On peut aussi considérer ces équations comme servant à déterminer la distance d'un point à la conique, cette distance étant mesurée suivant la normale. Ainsi, le lieu des points tels, que la somme des carrés de leurs

476 CHAPITRE XTIII.

distances normales à la conique soit constante est une conique. La condition pour que Téqualion en r' ait des racines égales s'obtient en égalant à zéro le produit du carré des axes par le cube de l'équation de la développée.

En faisant r = o, on voit que les foyers peuvent être considérés comme des points dont la dislance normale à la conique est nulle; ce qu^oa peut expliquer, en se rappelant que la distance de Torigine à un point quelconque de l'une ou de Tautre des droites x^-^^^= o est nulle.