IV. Trouver l'équation de la développée de la parabole

On a

S =/'— 4/w.r, S'= 2j:jh- 2(a/w — x')j— ^my A --= — 4 w% 0 = 0, 0' = — 4m (ïf/j — x), A' = 4 ///j,

et par suite pour l'équation cherchée

27 mjr^ = 4 ( J" — 2 /w )'-

Il faut observer que les intersections de S et S' comprennent non -seulement les pieds des trois normales qu'on peut mener par un point à une conique, mais encore un point situé à l'infini sur l'axe des x\ Les six cordes d'intersection de S et S' comprennent donc trois cordes et trois parallèles à Taxe menées par les pieds des normales. La méthode employée (370] n'est donc pas la plus simple pour résoudre le problème dans le cas de la parabole ; l'équation qu'elle fournit n'est autre que celle donnée au n*' 227^ Ex. XII, multipliée par le facteur

4 //i { 2 my -h y 'x — 2 mr* ) — jr'^.

373. Lorsque S' représente deux droites, on a A' = o. Pour savoir ce que signifient alors 0 et 0', on peut supposer que ces droites sonlxi= o et j = o, puisque, en vertu du principe énoncé plus haut, les propriétés des invariants sont indépendantes des lignes de référence. Le discriminant de S -h Axj,

IXTÀRIANTS ET GOYARIANTS DBS SYSTÈMES DE CONIQUES. 4? 7

qui s*obtient en remplaçant h par A + /i dans A, esl égala A -h ^kifg— ch) — ck^; le coefficient de /r' s'évanouit pour c = o, c'est-à-dire lorsque le point {x, j) se trouve sur la conique S; celui de k s'annule lorsque ^g- = cA, autrement dit (228, Ex. II!) lorsque les lignes x et jsont conjuguées par rapport à S. Donc : Lorsque S' représente deux droites. A' eçt nul; la condition &=:o exprime que l'intersection des deux droites se trouve sur S, et Q = 0 que les deux droites sont conjuguées {293) par rapport à S.

L'équation 0' = 4^®'» vérifiée lorsque A -i- 0/r -h O'/r* est un carré parfait, exprime (372) la condition qu'une des droites représentées par S' est tangente à S. On peut, du reste, le voir facilement sur l'exemple précédent, où Ton a

e' — ^^&=i{bc—f'){ca — g').

EXERCICES

I. Étant données cinq coniques S,, S,,..., il est toujours possible d'une infinité de manières de déterminer les constantes /,, /,, . . . de telle sorte que l'expression

soit ou un carré parfait L', ou un produit MN de deux facteurs linéaires M et N; démontrer que les droites L enveloppent une conique fixe V, par rapport à laquelle les droites M et N sont conjuguées.

On peut déterminer V de telle sorte que les invariants 0 correspondant à y et à chacune des cinq coniques données soient nuls, puisque pour exprimer ces conditions on obtient cinq équations de la forme

Aa^-hBb^-h Cc^-+- 2F/^-^- 'iGg^^+- ^Rh^ = o,

qui suffisent pour faire connaître les rapports mutuels des coefficients A, B,. . . de Téquation tangentielle de V. On a ainsi

A«, -h . . . = o, A«j -t- . . . = G,. . ., A<ij-t-. . . = o, par suite

autrement dit, l'invariant 0 de V et de chacune des coniques du système

47^ CHAPITRE XVllI.

est nul; ce qui démontre le théorème. Lorsque la droite M est donnée, N passe par un point fixe qui est le pôle de M par rapport à V.

IL Lorsque six droites j:, /, z, u, p, w sont tangentes à une conique, les carrés j?^, j*, . . . vérifient la relation linéaire

Ce théorème est un cas particulier de celui de FExercice I, mais peut se démontrer de la manière suivante. Si l'on exprime (151) que les six droites (>x -i- fxj-+- v) sont tangentes à une conique, on obtient six équations qui permettent d'éliminer les coefficients Â,B, C,... et la condition pour que ces droites soient tangentes à une même conique peut se mettre sous la forme

fî

VjX,

Ps^

fî

^ePe

qui exprime aussi que les carrés indiqués vérifient une relation linéaire.

IIL Lorsqu'on se donne seulement quatre coniques S,, S,, 83,8^, et que l'on cherche à déterminer une conique V, comme dans l'Exercice I, de telle sorte que les invariants 0 soient nuls, on n'obtient que quatre conditions, et un des coefficients de l'équation tangentielle de Y reste indéterminé; en exprimant les autres coefficients en fonctions de ce dernier, on peut mettre l'équation tangentielle de V sous la forme 1 -^ Az' = o, qui représente une conique tangente à quatre droites fixes. Nous démontrerons directement, plus tard, qu'on peut trouver quatre systèmes de constantes telles, que l'expression /,S, -+- /,S,-t- '3S3-H l^S^ soit un carré parfait.

Il est facile de voir, en prenant pour M la droite à l'infini, que lorsque M est une droite donnée, le problème de déterminer les constantes /,,/,... de telle sorte que l'expression /,S, -+-. . . soit de la forme MN, admet une solution et n'en admet qu'une seule : le théorème de l'Exercice I montre alors que N est le lieu du pôle de M par rapport à Y. Comparer à ce résultat celui de l'Exercice YIII du n° 258.

374. Trouver Véquation du couple des tangentes menées à S aux points où cette conique est coupée par la droite Ix -f- aj -f- vz, — L'équalion d'une conique, qui a un double

contact avec S, aux points où S rencontre Qttite droite, étant kS -h {'kx -h {Jiy -¥• V zy = o, tout se réduit à déterminer k de telle sorte que cette équation représente deux droites, et il est facile de voir que, dans ce cas, non seulement A', mais encore 0', s'évanouit. Si l'on pose

2 r= AX^ -f- B/x^ -h Cv» + 2F uv -f- aGvA -h ^HX^,

deux des valeurs de k étant nulles, la troisième sera donnée

par

frA 4-2 = o.

L'équation du couple de tangentes est donc

Lorsque la droite "kx ■+- ixjr-hvz est tangente à S, le couple . de tangentes coïncide avec cette droite, on a alors 2 = 0 (151).

Le problème qui précède renferme comme cas particulier la détermination de l'équation des asymptotes d'une conique définie par l'équation générale, en coordonnées trilinéaires.

375. Interprétation géométrique de Véquation 0 = 0 dans le cas le plus général. — Prenons pour triangle de référence un triangle autopolaire par rapport à S; l'équation de S est alors de la forme ax^ -\~ bj*^ -h cz^ (258), et l'on a à la fois f=o, g=o, A = o. La valeur de 0 (370) se réduit à 4ca' 4- cab' -\- abc' et devient nulle lorsqu'on an' = o, b' = o, c'=o, c'est-à-dire si Téquation de S' rapportée au même triangle est de la forme fyz -h g'zx -h h'xy. Donc : 0 rfevient nul toutes les fois qu'un triangle inscrit dans S' est autopolaire par rapport à S.

En prenant pour triangle de référence un triangle autopolaire par rapport à S', on a/' = o, g' = o, h' = o, et la valeur de 0, qui est alors

(bc—f')a' -f- {ca — g')b' -f- (ab — h')c',

ne peut devenir nulle que si l'on a bc =/% ca = g\ ab = h^; si Ton observe que la relation bc =f^ exprime que la droite x est tangente à S, on voit que 0 s'annule encore quand un triangle circonscrit à S est autopolaire par rapport à S'.

48o CHAPITRE XVIII.

On démontrerait de même que 0' = o exprime quil est possibley soit d'inscrire dans S un triangle autopolaire par rapport à S', soit de circonscrire à S' un triangle autopolaire par rapport à S, et si Tune de ces constructions est possible, l'autre Test également.

Deux coniques liées entre elles par la condition 0 = o possèdent encore d'autres propriétés. Appelons pôle d'un triangle par rapport à une conique le point de concours des droites qui joignent les sommets d'un triangle aux sommets correspondants de son triangle polaire par rapport à cette conique; et axe du triangle la droite qui passe par les intersections des côtés correspondants des mêmes triangles.

Lorsque 0 = o, le pôle par rapport à S d*un triangle inscrit dans S' se trouve sur S' ; et Vaxe par rapport à S' d'un triangle circonscrit à S est tangent à S. En effet, en éliminant successivement X, y-y z entre les équations

ax 4- hy -h gz = o, hx -+- by -^ fz = o, gx ■+■ fy -h cz = o,

on trouve

igfi - «/)^ = (A/*- *ff)r = (fg - ^f^)^

pour les équations des droites qui joignent les sommets du triangle xyz aux sommets correspondants de son triangle polaire par rapport à S. Ces équations peuvent se mettre sous la forme ¥x := Gy := H z, ce qui donne pour les coordonnées du

pôle du triangle b» r' u* ^^ substituant ces valeurs dans S'

on arrive, puisque les coefficients a\ b', d sont nuls, à l'équation

c'est-à-dire à 0 = o.

On démontrerait de la même manière la seconde partie du théorème.

INVARIANTS ET COVARlANTS DES SYSTÈMES DE CONIQUES. 4^^

EXERaCES.

I. Lorsque deux triangles sont autopolaires par rapport à une conique S', leurs six "sommets sont sur une conique, et leurs six côtés sont tangents à une autre conique (356, Ex. VU).

Faisons passer une conique par les trois sommets du premier triangle, et par deux des sommets du second que nous prendrons pour triangle do référence xyz. Cette conique étant circonscrite au premier triangle, on a B'= o, c'est-à-dire a -+- ^ -h c = o (371 , Ex. II) ; et comme elle passe par deux des sommets de j:^ z, on a « = o, b = o, et par suite r = o; elle passe donc par le troisième sommet du deuxième triangle. La deuxième partie du théorème se démontre de la même manière.

II. Le carré de la tangente menée du centre d*une conique au cercle circonscrit à un triangle autopolaire est constant et égal à a\-h h*. (M. Faure).

Ce théorème n'est que l'interprétation géométrique de la condition e = o, appliquée à la valeur a* -h p* — /•* — «' — ù^ trouvée pour H au n** 371, Ex. IV. Il peut encore s'énoncer de la manière suivante vTout cercle circonscrit à un triangle autopolaire coupe orthogonalement le cercle, lieu des sommets des angles droits circonscrits à la conique. En effet, le carré du rayon de ce dernier cercle est égal à «* -f- ô^.

III. Le centre du cercle inscrit dans un triangle autopolaire par rapport à une hyperbole équilatère i^e trouve sur la courbe.

Il suffit pour le démontrer de faire b^ = — «* dans la condition W o, 6' ayant la valeur donnée au n*" 371, Ex. IV.

IV. Si le rectangle construit sur les segments d'une des hauteurs d'un triangle circonscrit à une conique est constant et égal à M, le lieu du point de concours des hauteurs est le cercle x^ -h jr^ = à* -h b^ -h ^,

La condition pour qu'un triangle autopolaire par rapport à un cercle soit circonscrit à S s'obtient en égalant à zéro la valeur do & trouvée au n° 371, Ex. IV. D'ailleurs, lorsqu'un triangle est autopolaire par rapport à un cercle, le centre du cercle est le point de concours des hauteurs du triangle (278, Ex. III) et le carré du rayon est égal au rectangle construit sur les segments d'une des hauteurs ( pris avec le signe -h si le triangle est obtusangle, et avec le signe — s'il est acutangle). En faisant dans l'équation précédente M = o, on retombe sur le lieu décrit par le sommet des angles droits circonscrits.

V. Si le rectangle construit sur les segments d'une des hauteurs d'un

triangle inscrit dans S est constant et égal à M, le lieu de l'intersection des hauteurs est une conique S = M( — : -h y ^ j semblable et concentrique

àS(îrHART).

Ce théorème se démontre comme le précédent, en partant de la relation 0'= o.

VI . Trouver le lieu de l'intersection des hauteurs d'un triansçle inscrit dans une conique et circonscrit à. une autre (M. Burnsidë).

Prenons pour origine le centre de la dernière conique et égalons les valeurs de M trouvées aux Exercices IV et V; si a' et b' sont les axes de la conique S circonscrite au triangle, le lieu a pour équation

x'-hy'--a'-b'= ,^ .,.S, •^ a'' -f- b'' '

qui représente une conique dont les axes sont parallèles à ceux de S. Le lieu est un cercle lorsque S est un cercle.

VII. Le centre du cercle circonscrit à un triangle aulopolaire par rapport à une parabole se trouve sur la directrice.

VIII. Le point de conco\irs des hauteurs d'un triangle circonscrit à une parabole ^e trouve sur la directrice.

IX. Le' lieu du centre du cercle de rayon constant inscrit dans un triangle autopolaire par rapport à une parabole est une parabole de même paramètre.

376. On ne peut pas, en général, tracer un triangle inscrit dans une conique et circonscrit à une autre, lorsque ces deux coniques sont prises arbitrairement; mais on peut en tracer une infinité lorsque les coefficients de leurs équations satisfont à une certaine relation que nous allons déterminer. Supposons qu'un pareil triangle soit tracé, et prenons-le pour triangle» de référence; les équations des coniques peuvent alors se ramener aux formes suivantes :

S=x^ -hf^ -h z* — %jrz — ^xz — 2xy = o,

S' = "ifyZ -t- IgZX ->r lll X}' = o,

et en calculant les invariants, il vient

A- - 4» 0- 4(/+g'+ A), & = - {f+8^ /' )% ^' = ^fgfh

ce qui donne

Cette équation est du genre (371) de celles qui sont indépendantes du choix des axes de coordonnées; elle subsiste donc entre les coefficients des équations des coniques, quelle que soit leur forme primitive, pourvu que, par une transformation convenable, on puisse les ramener au type indiqué plus haut. Il est du reste facile de voir (comme au n" 375, Ex. I) que deux des sommets d*un triangle circonscrit à S se trouvant sur S', il en est de même du troisième, lorsque la relation 0=^ ==: 4 A0' est satisfaite.

I. Trouver la condition à laquelle doivent satisfaire deux cercles pour <]u*on puisse tracer un triangle inscrit dans l'un et circonscrit à l'autre.

Si l'on pose D*— /•* — /•'*= G, on a pour la condition cherchée (371, Ex. lïl)

(G — ry-hir*(G'-r'') = o ou (G -h r'Y = ir'r" ;

par suite, D" — r" ± irr': c'est la formuleconnued'Eulerpour exprimer

(•) Celte condition a été indiquée pour là première fois par M. Cayley {^Philosophical MagazinCy t. VI, p. 99), qui l'a déchiite de la théorie des fonctions eUiptiques. M. Cayley a démontré aussi, par le même procédé, que si la racine carrée de A'A + A'9 + A6' + A', développée suivant les puissances de ^, «tait de la forme A -4- BA -+- CA'-H. . .', les conditions pour qu'on puisse tracer un polygone de n côtés inscrit dans U et circonscrit à V étaient respectivement dans le cas de n ~ 3, 5, 7,. ■ .,