D = 0, DE
la distance du centre du cercle circonscrit à un triangle à celui d'un des cercles inscrits.
II. Trouver le lieu du centre d'un cercle de rayon donné passant par les sommets d'un triangle circonscrit à une conique, ou tangent aux côté^ d'un triangle inscrit dans une conique.
Ces lieux sont en général du quatrième degré. Lorsque la conique est une parabole, lo lieu du centre du cercle circonscrit se réduit à un cercle ayant le foyer pour centre.
III. Trouver la condition pour qu'on puisse inscrire dans S' un triangle dont les côtés soient respectivement tangents à S -h /S', S -h wS', S -+- wS'.
Si l'on pose
S = .r* -f- j' H- 2* — 2 ( I -h ff))'z — 2(1-+- mg) zjc — 1(1 -f- n/i)j:ry
la conique S + /S' est évidemment tangente à la droite .r, . . ., et on a
A = — ( 2 -h // -+- mg -h nh y — 2 Inmfgh^
0= 2(,/'-h^-f-/i)(2-+- If -h mg -h nh) ■+- ^fgh [ mn -^ ni -h />;i),
d*où l'on tire, pour la condition cherchée,
[0 \'[nin -h ni -h lm)Y= 4(A -+- /////iA')[0'-h A'(/ h- m -h //)].
377. Trouver la condition pour que la droite Ix -\- i^y -{-vz passe par un des quatre points d* intersection de S et S'.
Ce problème revient, en d'autres termes, à trouver réqualioiv tangentielle de ces quatre points. Pour former l'équation tangentielle d'une conique du système S -+- AS', il suffit de remplacer a, 6,. . . par a -f- ka'y b + kb',, . . dans Téquation tangentielle de S, c'est-à-dire dans
2 — [bc — /»)X'-h (ca — g')^^ -I- (a6 — A')v»
On trouve ainsi
INVARIANTS ET GOYABIANTS DES SYSTfcMES DE CONIQUES. 4^^
^n désignant par 2' l'équation tangentielle de S' et posant
4> = [hc'^Vc — iff')^}^[ca -f- c'a — igg' )\l^
+ (aft'-h a'h — ilih!)v^-¥i{gh -»- g' h — af^-a'/) ^v ^-^(A/'-4- A/- bg!-Vg)v'k + ^(fg'^fg^cW^ c'h)lfj..
L'équation tangentielle de Tenveloppe de ce système est
donc (298)
Mais puisque S-+-/iS' et l'équation tangentielle correspon- <]ante représentent un système de coniques passant par quatre points fixes, l'enveloppe du système n'est autre chose que ces quatre points, et l'équation ^^ = ^11' est la condition cherchée pour que la droite "kx ■+■ ^y -f- vz passe par un des quatre points. On aurait pu obtenir ce résultat de la manière suivante. Par quatre points on peut, en général, faire passer deux coniques tangentes à une droite donnée (345, Ex. IV); mais quand la droite passe par l'un des quatre points, les deux coniques coïncident et se réduisent à une seule qui touche la droite en ce point. D'ailleurs, la relation $' = 422' exprime que les deux coniques du système S -4- AS', qu'on peut mener tangentiellcment klx -{- ijlx-\-vz, coïncident.
On peut observer que l'équation $ = o n'est autre chose que la condition obtenue au n® 335, pour exprimer que la droite Ix -h imx-\-vz est divisée harmoniquement par les deux coniques.
378. Trouver Véquation des quatre tangentes communes à deux coniques.
Ce problème est le réciproque de celui du numéro précédent et peut êlre résolu de la même manière. SI 2 = o et 2' = o sont les équations tangentielles de deux coniques, 2-t-/r2' = o sera (298) celle d'une conique inscrite dans le quadrilatère formé par les quatre tangentes qui leur sont communes. L'équation trilinéaire correspondante à 2 4-A*2'=o sera, d'après le n** 285,
AS4-/rP-h/r'A'S'=o.
en posant
r = (BC -4- B'C - 2FF'):c= -}- (CA' -f C'A - 2GG')j^
(AB'-i-A'B-2HH'j2'-h2(GH -hG'H-AF'-A'Fljz 2(HF-hH'F-BG'~B'G)2:r -f 2{FG' + FG-CH'-C'H)arj,
eien conservant aux lettres A, B,. . . la signification indiquée aun** 151.
D'ailleurs AS -4- /iP -f /r'A'S'=3 o représente un système de coniques ayant pour enveloppe
r==4AA'SS',
et cette enveloppe n'est autre chose que le quadrilatère formé par les quatre tangentes conyi^unes.
D'après sa forme, l'équation P^ = 4^^'SS' est celle d'un lieu tangent à S et S', la courbe P passant par les points de contact. Par suite, les huit points de contact de deux coniques avec leurs tangentes communes sont sur une autre conique P. Réciproquement : Les huit tangentes menées aux points d'intersection de deux coniques enveloppent une autre conique 0.
L'équation P=:io est celle .que nous avons obtenue au n° 334-, pour le lieu des points tels, que les tangentes menées par un de ces points aux deux coniques forment un faisceau harmonique (*).
Lorsque S' se réduit à deux droites, P représente les deux tangentes menées à S par l'intersection de ces droites.
EXERCICE
Trouver l'équation des quatre tangentes communes aux deux coniques
n.r' -h hy^ -f- cz^ — o, a' x"^ -h b' y^ -h c' z^ = o. On a
A = bi\ B — a/^ C = fib,
(*) M. Salinon est lo premier qui ait fait remarquer rimporlauce de celte conique dans la théorie des systèmes de deux courbes du deuxième de^jrù.
par suite
F ^ aa' ( bc' -h b'c].v^ -h hb'[ca' -t- c V/)/» -h cc'[ab' -i-ab) z\
ce qui donne pour l'équation cherchée
[aa'[bc'~^b'c)x^-^bb'[ca*'^c'a)y^-^cc'[nb''^a'b)z'Y = iiabca'b'c'[ajc^-^by^'^cz')[a'x^-^b'r^-^c'z'),
379. Définissons maintenant d'une manière plus générale les fonctions indiquées dans les deux numéros précédents. Lorsqu'en partant des équations d'une courbe ou d'un système de courbes, on a formé celle d'un lieu U = o, dont la relation avec les courbes données est indépendante des axes auxquels elles sont rapportées, on dit que U est un covariant du système donné. Pour écrire l'équation de ce lieu par rapport à de nouveaux axes, on peut suivre deux méthodes : i" transformer directement l'équation U = o; 2*» transformer d'abord les équations des courbes du système et déduire de ces équations transformées celle du lieu en suivant la même règle que pour déduire U = o des équations primitives. Ces deux méthodes conduisent évidemment au même résultat. Ainsi, en substituant
Ix -+- my -4- nz, l'x -h m'y^ -h n'z, fx -4- m"y -+- n"z
à Xy /, z dans l'équation (378)
