P'=4AA'SS
pour la rapporter à un nouveau triangle de référence, on trouve, à un facteur constant près, le même résultat qu'en déduisant cette équation des nouveaux coefficients de S et S' transformés suivant la même substitution, cette équation représentant dans l'un et l'autre cas les quatre tangentes communes à S et S'; cette propriété sert de base à la définition analytique des covariants que nous donnons ici. Une fonction F, déduite d'une ou plusieurs fonctions données S, d'après une règle donnée, est un covariant, lorsqu'en transformant les variables de F suivant une substitution linéaire, on obtient, à un facteur constant près, le même résultat qu'en déduisant, d'après la
4^8 CHAPITRE XVllI.
règle donnée, une nouvelle fonction des équations S transformées suivant la même substitution.
Les invariants et les covariants d'un système de courbes ont cela de commun que leur signification géométrique est indépendante des axes auxquels sont rapportées ces courbes; mais ils diffèrent en ce que les invariants ne sont fonctions que des coefficients, tandis que les cx)variants sont fonctions des coefficients et des variables.
380. Il est encore un autre cas dans lequel on peut prévoir la transformation obtenue par une substitution linéaire. Supposons que nous ayons formé la condition pour que la droite Ix -f- iiy 4- vz soit tangente à une courbe, ou, plus généralement, pour qu'elle soit liée à une courbe ou à un système de courbes par une relation indépendante des axes auxquels ces courbes sont rapportées; il est évident que si, pour changer de coordonnées, nous transformons les équations des courbes, la condition se formera au moyen de ces équations transformées, en suivant la même règle que celle employée pour la déduire des équations primitives. Mais l'expression de cette condition, par rapport aux nouveaux axes, peut aussi s'obtenir par une transformation directe de son expression primitive.
Soit
1 [Ix -f- mx-^îiz) -4- ix{ l'x -i- m'>'+ n*z) -f- v{l"x -h m"j -h /i"z ) = }/x -+- u'y^ -\-v'z
ce que devient Ix -h (j.)' -hvz dans la transformation des courbes, on aura
// z= Il -h /'// -h X"v, ii'z=:z ml-h m'a 4- /n"v,
v' = /i X -1- n'ij. -h n'^v ; par suite
l = L}/ 4- Vu/ -h L^', p. r^- M >/ 4- M >.' -h M^',
v = NX'4Ny4-NV,
et en introduisant ces valeurs dans la condition obtenue prî* mitivement en fonction de )., [i et v, on trouvera en fonction
INVARIANTS ET COYARIANTS DES SYSTÈNES DE CONIQUES. 4^
de À', u/y y', une expression de celle condilion qui ne pourra différer que par un facteur constant de celle qu'on obtiendrait en partant des équations transformées des courbes. Les fonctions que nous venons de considérer s appellent des contrevariants. Les contrevarianls ont cela de conomun avec les covariants, qu'un contrevariant, connme, par exemple, Téqualion tangentielle d'une conique (fcc— /')X'-4-. . . = 0, peut être ramené par transformation linéaire à une équation de même forme (fcV — /'^)X''-h . . . = 0, et dont les coefficients sont déduits de ceux de l'équation trilinéaire transformée de la conique. Mais ils diffèrent en ce que X, /x et v ne doivent pas être transformés en suivant la même règle, que pour x, y, z, c'est-à-dire remplaçant 1 par /X -h m jcz -f- «v, mais bien d'après la règle indiquée plus haut.
La condition, $1= o trouvée au n° 377, est évidemment un contrevariant du système des coniques S et S'.
381. 11 est facile de voir que l'équation trilinéaire d'une conique covariante de S et S' peut s'exprimer en fonction de S, S' et P, tandis que son équation tangentielle peut s'exprimer en fonction de 2, 2', $.
EXERCICES
L Exprimer en fonction de S, S' et F l'équation de la conique polaire réciproque de S par rapport à S'.
Les invariants et les covariants étant, d'après leur nature même, indépendants du choix des lignes de référence, nous pouvons supposer les deux coniques S et S' rapportées à leur triangle autopolaire commun. On aura alors
et, par suite,
F = fl(/>n- c)x'h- b[c -^ a)x^ -^ c(a -+- b)z'^.
La relation bc.\^ ■+■ ca^i^ -»- abv^ = o exprimant qu'une droite est tangente à S, le lieu du pôle de cette droite par rapport à S' aura pour équation
bcx^ -f- cay^ -h abz^= o.
^gO CHAPITRE XVIll.
OU bien
[bc -h ra -h ab) {x^ -^ f' -¥- z^ ) = F,
c'est-à-dire (371, Ex. I)
On trouverait de même, pour l'équation de la polaire réciproque de S' par rapport à S,
II. Exprimer en fonction de S, S' et F la conique enveloppée par les droites que divisent harmoniquement S et S'.
Cette conique <1> = o a pour équation tangentielle
( Ô -H Ç ) V -h (r H- fl ) p' -h {/7 H- ^ ) v' = G,
et, par suite, pour équation trilinéaire
(c -h a)[ri -h b)x^-h (a -h b)(b'+- f:)r^ -h{r -+- a)[b -+- r)z'^ = o
ou
(bc -\- ca -h ab)[x'^ -\- y"^ -^ z') -h (r/-H b rr- c)[ax^-k- bf^ -h cz^) — F,
c'est-à-dire
eS'-hS'S — T = o.
III. Trouver la condition pour que F représente deux droites. Cette condition est exprimée par
nbc{b -j- c) [c -h n) (a -h b) = o, ou
nbc [[a -h b -h c) [ br -h m -t- ab ) — (ibc'\ ~ o, ou bien
D'ailleurs (-)0'= AA' exprime aussi la condition pour que <I> = o se réduise à deux droites. Cette condition est satisfaite dans le cas de deux cercles se coupant à angle droit, car alors une droite quelconque menée par l'un des centres est divisée harmoniquement par les deux cercles, et le lieu des sommets des faisceaux harmoniques formés par les tangentes aux cercles se réduit à deux droites. Il en est encore de même lorsqu'on a la relation D' = 2(/*' -+- r'^) entre la disUmce D des centres et les rayons r et /•'.
